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Dotrungduckid
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On donne: [tex]a+b+c=1[/tex] et [tex] a^{3} + b^{3} + c^{3} =1[/tex]
Calculer l'expression [tex] P=a^{2015} + b^{2015} + c^{2015}[/tex]

Sagot :

a+b+c=1 et a³+b³+c³=1
donc (a+b+c)²
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
donc a²+b²+c²=1-2(ab+ac+bc)

aussi (a+b+c)³
=a³+3a²b+3a²c+3ab²+6abc+3ac²+b³+3b²c+3bc²+c³
=(a³+b³+c³)+3a²(b+c)+3b²(a+c)+3c²(a+b)+6abc
=(a³+b³+c³)+3a²(a+b+c)+3b²(a+b+c)+3c²(a+b+c)+6abc-3(a³+b³+c³)
=-2(a³+b³+c³)+(a+b+c)(3a²+3b²+3c²)+6abc
=-2+3(a²+b²+c²)+6(abc)

donc 1=-2+3(1-2(ab+ac+bc))+6abc
donc 3=3(1-2(ab+ac+bc))+6abc
donc -6(ab+ac+bc)+6abc=0
donc ab+ac+bc=abc
donc ab/(abc)+(ac)/(abc)+(bc)/(abc)=1
donc 1/a+1/b+1/c=1
donc {a,b,c} ∈ {2;3;6}

ainsi P=a^2015+b^2015+c^2015
 donne P=2^2015+3^2015+6^2015
on trouve P ≈ 9.435 × 10^1567


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