f(x)=ln(x+1)/x
f(x)=(ln(x+1)-ln(0+1))/(x-0)
donc la limite de f en 0 est égale à la limite du taux d'accroissement de g(x)=ln(x+1) en x=0
donc la limite en 0 de f vaut 1/(0+1)=1
donc f est continue en 0 et f(0)=1
g(x)=(f(x)-f(0))/(x-0)=(ln(x+1)/x-1)/x=(ln(x+1)-x)/x²
or x-x²/2<ln(x+1)<x-x²/2+x³/3
donc -1/2<g(x)<-1/2+x/3
donc la limite de g en 0 vaut -1/2
donc f est dérivable en 0 et f'(0)=-1/2
de plus le dénominateur x ne s'annule et x+1>0 par définition du logarithme
donc f est dérivable sur ]0;+∞[ comme composée de fonctions dérivables
f est dérivable et donc continue sur ]0;+∞[
f'(x)=(1/(x+1).x-ln(x+1).1)/x²=(x-(x+1).ln(x+1))/(x²(x+1))
x+1>0 et x²>0 donc f'(x) est du signe de h(x)=x-(x+1).ln(x+1)
h'(x)=1-1.ln(x+1)-(x+1)/(x+1)=-ln(x+1)
si x>0 alors ln(x+1)>0 donc h'(x)<0
donc h est décroissante sur ]0;+∞[
or h(0)=0 et lim(h,+∞)=-∞
donc pour tout x>0 : h(x)≤0
donc on déduit que f'(x)≤0
donc f est décroissante sur ]0;+∞[
