Bonjour,
1)On part du principe que la fonction logarithme népérien est strictement croissante sur son ensemble de définition, R+*.
Dès lors, on cherche à démontrer la proposition suivante :
[tex]P(n) : u_{n+1}-u_n \ \textgreater \ 0,n\in\mathbb N[/tex]
Initialisation : on démontre que P(0) est vraie, cad que u1-u0 >0.
[tex]u_0 = 0\\
u_1 = \ln \left(2\right) \ \textgreater \ 0[/tex]
(en effet, on a ln(1) = 0 et comme 2 > 1, ln(2) >0).
P(0) est donc vraie.
Hérédité : Soit n un entier naturel, supposons la propriété vraie au rang n. On a :
[tex]u_{n+1} \ \textgreater \ u_n[/tex]
Maintenant, nous allons essayer de "monter" au rang n+1, c'est Ă dire Ă faire intervenir une relation entre u(n+2) et u(n+1). Pour cela, on essaye de transformer peu Ă peu les Ă©critures.
[tex]u_{n+1}+2 \ \textgreater \ u_n+2[/tex]
La fonction logarithme népérien est strictement croissante, d'où :
[tex]\ln \left(u_{n+1}+2\right) \ \textgreater \ln\left(\ u_n+2\right)\\
u_{n+2} \ \textgreater \ u_{n+1}[/tex]
En conclusion, la propriété P(n) est vraie pour tout entier naturel n, on a :
[tex]u_{n+1} \ \textgreater \ u_n[/tex]
Par conséquent la suite (un) est strictement croissante.
2)On pose une nouvelle proposition.
[tex]P'(n) : u_n \leq 2, n\in \mathbb N[/tex]
Initialisation :
[tex]u_0 = 0 \leq 2[/tex]
P'(0) est vraie.
Hérédité.
Soit n un entier naturel, on suppose P'(n) vraie.
On a :
[tex]u_n \leq 2\\
u_n+2 \leq 4\\
\ln\left(u_n+2\right) \leq \ln \left(4\right)\\
u_{n+1} \leq \ln \left(4\right) \approx 1{,}39 \ \textless \ 2[/tex]
On en déduit que la suite (un) est majorée par 2.
3)
La suite (un) est strictement croissante et majorée, on en déduit qu'elle converge.
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
