Bonsoir,
1)On démontre par récurrence.
Soit
[tex]P(n) : u_n = \frac{8}{11} \left(\frac 13\right)^n +\frac{3}{11} \times 4^n,n\in \mathbb N[/tex]
Initialisation : au rang 0,
[tex]\frac{8}{11} \left(\frac 13\right)^n +\frac{3}{11}\times 4^n = \frac{8}{11} + \frac{3}{11} = 1 = u_0[/tex]
P(0) est vraie.
Hérédité : soit n un entier naturel, supposons P(n) vraie.
On a :
[tex]u_n =\frac{8}{11}\times \left(\frac 13\right)^n +\frac{3}{11} \times 4^n\\
u_{n+1} = \frac 13u_n+4^n\\
u_{n+1} = \frac 13\left[\frac{8}{11}\times \left(\frac 13\right)^n +\frac{3}{11} \times 4^n\right] + 4^n\\
u_{n+1} = \frac{8}{11}\times \left(\frac 13\right)^{n+1} +\frac{1}{11} \times 4^n + 4^n\\
u_{n+1} = \frac{8}{11}\times \left(\frac 13\right)^{n+1} +\frac{12}{11} \times 4^n\\
u_{n+1} = \frac{8}{11}\times \left(\frac 13\right)^{n+1} +\frac{3}{11}\times 4\times 4^n\\[/tex]
[tex]u_{n+1} = \frac{8}{11}\times \left(\frac 13\right)^{n+1} +\frac{3}{11}\times 4^{n+1}\\[/tex]
La propriété P(n) est donc vraie pour tout entier naturel n.
2)
a)Par définition, pour tout entier naturel n,
[tex]v_{n+1} = 3^{n+1}u_{n+1}\\
v_{n+1} = 3^{n+1}\left(\frac 13 u_n + 4^n \right)\\
v_{n+1} = 3^nu_n+3\times 3^n\times 4^n\\
v_{n+1} = v_n+3\times 12^n[/tex]
b)On a pour tout entier naturel n :
[tex]\sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(v_{i+1}-v_i\right) = \sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(v_i +3\times 12^i-v_i\right) \\
\sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(v_{i+1}-v_i\right) = \sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(3\times 12^i\right) \\
\sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(v_{i+1}-v_i\right) = 3\sum \limits_{i=0}^{n-1}12^i\\
\sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(v_{i+1}-v_i\right) = 3\times \frac{1-12^n}{1-12} = 3\times\frac{12^n-1}{11}[/tex]
On peut également calculer la somme en utilisant l'expression de un.
[tex]\sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(v_{i+1}-v_i\right) = \sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(3^{n+1}u_{n+1}-3^nu_n\right)\\
\sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(v_{i+1}-v_i\right) = \sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(3^{n+1}\left(\frac 13 u_n+4^n\right)-3^nu_n\right)\\
\sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(v_{i+1}-v_i\right) = \sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(3^nu_n+3\times 12^n-3^nu_n\right)\\
\sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(v_{i+1}-v_i\right) = \sum \limits_{i=0}^{n-1} \left(3\times 12^n\right)\\[/tex]
Et on arrive au même résultat.
c)On a pour tout entier naturel n :
[tex]v_n = v_0 + 3\times \frac{12^{n}-1}{11}\\
v_n = 1+ 3\times \frac{12^{n}}{11} - \frac{3}{11}\\
u_n =\left( \frac{1}{3}\right)^n \left(1+3\times \frac{12^{n}}{11} - \frac{3}{11}\right)\\
u_n = \frac{8}{11} \times \left(\frac 13\right)^n +\frac{3}{11} \times 4^n[/tex]
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
