Pour le 1 du I, tu peux utiliser le tableau de signe en haut de la page pour en déduire le signe du produit (x+1)(3-x):
Si x∈]-1;3[ ⇒ (x+1)(3-x) > 0
Si x∈ ][tex]-\infty[/tex];-1] ⇒ (x+1)(3-x) ≤ 0
Si x∈ ]3; [tex]+\infty[/tex]] ⇒ (x+1)(3-x) ≤ 0
2(x+3)² est toujours positif, donc le signe de ( (x+1)(3-x) ) / 2(x+3)² dépend du signe du produit (x+1)(3-x)!
Alors le signe de l'expression ( (x+1)(3-x) ) / 2(x+3)² est :
( (x+1)(3-x) ) / 2(x+3)² > 0 Si x∈]-1;3[
( (x+1)(3-x) ) / 2(x+3)² ≤ 0 Si x∈ ][tex]-\infty[/tex];-1] U ]3; [tex]+\infty[/tex]]
Pour le II :
1) Soit x ∈ R
2x/(x²+1) -1 =( 2x - (x²+1) ) / (x²+1) = - (x²-2x+1) / (x²+1) = - (x-1)²/ (x²+1) ≤ 0
On a : 2x/(x²+1) -1 ≤ 0
Alors : Pour tout x∈R, 2x/(x²+1) ≤ 1
2x/(x²+1) -(-1) =( 2x + (x²+1) ) / (x²+1) = (x²+2x+1) / (x²+1) = (x+1)²/ (x²+1) ≥ 0
On a : 2x/(x²+1) -1 ≥ 0
Alors : Pour tout x∈R, 2x/(x²+1) ≥ -1
2) On a x≥1 donc x²*x≥ x²*1 (puisque x²>0 le signe ne va pas changé)
D'où : Pour tout x≥1, [tex] x^{3} [/tex] ≥ x²
3) Soit a et b des nombres réels
On a (a+b)² - 4ab = a²+2ab+b² - 4ab = a²-2ab+b² = (a-b)² ≥ 0
(a+b)² - 4ab ≥ 0
Donc pour tous réel a et b, (a+b)² ≥ 4ab
En espérant t'avoir aidé! =)
