1a) AI et AJ ne sont pas colinéaires donc (A;AI;AJ) est un repère du plan.
1b) A(0;0) I(1;0) J(0;1) K(1;1)
1c) AI=2/3*AB donc AB=3/2*AI=3/2*AI+0*AJ
Donc B(3/2;0)
De même, AD=2*AJ donc D(0;2)
AC=AB+BC comme ABCD est un parallélogramme BC=AD
Donc AC=AB+AD=3/2*AI+2*AJ
Donc C(3/2;2)
2a) DI est de la forme y=ax+b
DI passe par D donc 2=a*0+b soit b=2
DI passe par I donc 0=a*1+b=a+2 donc a=-2
(DI) : y=-2x+2
BJ est de la forme y=cx+d
BJ passe par B donc 0=c*3/2+d soit 3/2*c+d=0 donc c=-2/3*d
BJ passe par J donc 1=c*0+d donc d=1 et c=-2/3
(BJ) : y=-2/3*x+1
2b) M est l'intersection de DI et BJ donc on a x tel que :
-2x+2=-2/3*x+1
soit 2x-2/3*x=2-1 donc 4/3*x=1 soit x=3/4
y=-2*3/4+2=-3/2+2=1/2
M(3/4;1/2)
3) Les coordonnées de CK sont (1-3/2;1-2) soit (-1/2;-1)
Les coordonnées de CM sont (3/4-3/2;1/2-2) soit (-3/4;-3/2)
Donc CM=3/2*CK : CM et CK sont colinéaires donc C, M et K sont alignés.
M est donc sur la droite (CK)
Donc (DI), (BJ) et (CK) sont concourantes.
