1a) U1=√(0,5*0²+8)=√8
U2=√(0,5*8+8)=√12
1b) Uo=0≥0
Supposons qu'au rang n on ait Un≥0
Alors 0,5Un²+8≥8≥0 soit Un+1≥0
donc quelque soit n Un≥0
Uo=0≤√8=U1
Supposons qu'au rang n on ait Un-1≤Un
Alors Un-1²≤Un² car la fonction carré est croissante sur IR+
Donc 0,5Un-1²≤0,5Un² et 0,5Un-1²+8≤0,5Un²+8
Donc √(0,5Un-1²+8)≤√(0,5Un²+8) soit Un≤Un+1
Uo=0≤8
Supposons qu'au rang n on ait Un≤8
Alors Un²≤64 ⇔ 0,5Un²≤32 ⇔ 0,5Un²+8≤40 ⇔ Un+1≤√40≤8
Donc quelque soit n Un≤8
Donc quelque soit n : 0≤Un≤Un+1≤8
1c) On en déduit que comme Un est croissante et majorée, elle converge.
2a) Vn+1=Un+1²-16
Vn+1=0,5Un²+8-16=0,5Un²-8=0,5(Un²-16)=0,5Vn
Donc Vn est géométrique de raison 0,5
2b) Vo=Uo²-16=-16
Donc Vn=-16x(0,5)^n
2c) On en déduit que Un²-16=-16x(0,5)^n
Soit Un=√(16-16(0,5)^n)=4√(1-(0,5)^n)
