Bonjour Carolinerenaux59
La suite
(Un) est définie par U0 = 1 et pour tout entier naturel n, Un+1 = Un + 2^n +1
1)
déterminer les quatre premiers termes de cette suite.
[tex]U_1=U_0+2^0+1\\U_1=1+1+1\\\\\boxed{U_1=3}\\\\U_2=U_1+2^1+1\\U_2=3+2+1\\\\\boxed{U_2=6}\\\\U_3=U_2+2^2+1\\U_3=6+4+1\\\\\boxed{U_3=11}[/tex]
[tex]U_4=U_3+2^3+1\\U_4=11+8+1\\\\\boxed{U_4=20}[/tex]
2) on pose Vn = Un+1 – Un
a-
calculer de deux façons différentes la somme Sn = V0 +V1 + ........ + Vn
Première
méthode :
Nous
avons :
[tex]V_n
= U_{n+1}-U_n\\\\V_n = 2^n+1[/tex]
D'où
[tex]S_n=V_0+V_1+V_2+...+V_n\\\\S_n=(2^0+1)+(2^1+1)+(2^2+1)+...+(2^n+1)\\\\S_n=(2^0+2^1+2^2+...+2^n)+(1+1+1+...+1)\\\\S_n=(2^0+2^1+2^2+...+2^n)+(n+1)[/tex]
Or [tex]2^0+2^1+2^2+...+2^n[/tex] est le somme de (n+1) termes d'une suite géométrique de raison égale à 2.
Donc
[tex]2^0+2^1+2^2+...+2^n=2^0\times\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}\\\\2^0+2^1+2^2+...+2^n=1\times\dfrac{1-2^{n+1}}{-1}\\\\2^0+2^1+2^2+...+2^n=2^{n+1}-1[/tex]
On en déduit que :
[tex]S_n=(2^0+2^1+2^2+...+2^n)+(n+1)\\\\S_n=(2^{n+1}-1)+(n+1)\\\\\boxed{S_n=2^{n+1}+n}[/tex]
Seconde méthode :
[tex]S_n=V_0+V_1+V_2+...+V_n\\\\S_n=(U_1-U_0)+(U_2-U_1)+(U_3-U_2)+...(U_{n+1}-U_n)\\\\S_n=U_1-U_0+U_2-U_1+U_3-U_2+...U_{n+1}-U_n[/tex]
Après
simplification des termes identiques, nous avons ;
[tex]S_n=U_{n+1}-U_0\\\\\boxed{S_n=U_{n+1}-1}[/tex]
b- en déduire l'expression
de Un en fonction de n.
En
identifiant les résultats des deux méthodes, nous obtenons :
[tex]U_{n+1}-1=2^{n+1}+n\\\\U_{n+1}=2^{n+1}+n+1\\\\U_{n+1}=2^{n+1}+(n+1)[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{U_n=2^n+n}[/tex]
