on effectue un raisonnement par récurrence :
(I) : La propriété est vraie pour n = 1 : 1² = 1(1+1)(2+1)/6
(H) : Supposons quelle soit vraie pour un certain entier n>0 :
S'n = 1²+2²+.....+n² = n(n+1)(2n+1)/6
alors S'n+1 = 1²+2²+........+n² + (n+1)²
= n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)²
= (n+1)[n(2n+1)+6n+6]/6
= (n+1)(n+2)(2n+3)/6= (n+1)[(n+1)+1][2(n+1)+1]/6
(Car [n(2n+1)+6n+6] = (n+2)(2n+3).
=> la propriété est vraie aussi pour n+1, donc elle est vraie pour tout entier n>0
soit 1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
