Bonjour,
Une démonstration par récurrence s'écrit toujours en 4 points. Par exemple, pour le 9 :
1)On choisit une proposition qui dépend d'une variable n, que l'on veut démontrer pour tout n.
Ici, soit
[tex]P(n) : \frac{1}{n!} \leq \frac{1}{2^{n-1}},n\geq 1[/tex]
2)On prouve que P est vraie au rang initial (ici montrer que P(1) est vraie).
[tex]\frac{1}{1!} = 1\\
\frac{1}{2^0} = 1 \leq 1[/tex]
Ce qui prouve que P(1) est vraie.
3)Hérédité : soit n >=1, on suppose P(n) vraie et on veut démontrer que P(n+1) l'est aussi.
P(n) vraie donc :
[tex]\frac{1}{n!}\leq \frac{1}{2^{n-1}}[/tex]
Comme n >= 1, on a n+1 >= 2 donc 1/n+1 <= 2 donc on en déduit :
[tex]\frac{1}{n!} \times \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2^{n-1}}\times \frac{1}{2}\\
\frac{1}{\left(n+1\right)!} \leq \frac{1}{2^n}[/tex]
Finalement, P(n+1) vraie.
4)Conclusion : P(n) vraie pour tout entier naturel n.
De même pour les autres démonstrations.
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
