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Sagot :
Bonjour Asilami9
[tex]a^2=b+1\Longleftrightarrow \boxed{a^2-b=1}[/tex]
[tex](\sqrt{a-\sqrt{b}}+\sqrt{a+\sqrt{b}})^2\\\\=(\sqrt{a-\sqrt{b}})^2+2\sqrt{a-\sqrt{b}}\sqrt{a+\sqrt{b}}+(\sqrt{a+\sqrt{b}})^2\\\\=(a-\sqrt{b})+2\sqrt{a-\sqrt{b}}\sqrt{a+\sqrt{b}}+(a+\sqrt{b})\\\\=a-\sqrt{b}+a+\sqrt{b}+2\sqrt{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})}\\\\=2a+2\sqrt{a^2-(\sqrt{b})^2}\\\\=2a+2\sqrt{a^2-b}\\\\=2a+2\sqrt{1}[/tex]
[tex]\\\\=2a+2[/tex]
D'où [tex](\sqrt{a-\sqrt{b}}+\sqrt{a+\sqrt{b}})^2=2a+2[/tex]
Par conséquent, en extrayant les racines carrées de ces deux membres positifs, nous déduisons que :
[tex]\sqrt{a-\sqrt{b}}+\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{2a+2} [/tex]
[tex]a^2=b+1\Longleftrightarrow \boxed{a^2-b=1}[/tex]
[tex](\sqrt{a-\sqrt{b}}+\sqrt{a+\sqrt{b}})^2\\\\=(\sqrt{a-\sqrt{b}})^2+2\sqrt{a-\sqrt{b}}\sqrt{a+\sqrt{b}}+(\sqrt{a+\sqrt{b}})^2\\\\=(a-\sqrt{b})+2\sqrt{a-\sqrt{b}}\sqrt{a+\sqrt{b}}+(a+\sqrt{b})\\\\=a-\sqrt{b}+a+\sqrt{b}+2\sqrt{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})}\\\\=2a+2\sqrt{a^2-(\sqrt{b})^2}\\\\=2a+2\sqrt{a^2-b}\\\\=2a+2\sqrt{1}[/tex]
[tex]\\\\=2a+2[/tex]
D'où [tex](\sqrt{a-\sqrt{b}}+\sqrt{a+\sqrt{b}})^2=2a+2[/tex]
Par conséquent, en extrayant les racines carrées de ces deux membres positifs, nous déduisons que :
[tex]\sqrt{a-\sqrt{b}}+\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{2a+2} [/tex]
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