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Sagot :
INITIALISATION : 0*0+0=0=U0
Donc la proposition est vraie au rang n=0
HEREDITE: On émet l'hypothèse de récurrence : Un=n*n+n
Voyons si Un+1=(n+1)*(n+1)+(n+1)
On sait que Un+1=Un+2n+2
qui est = (n*n+n)+2n+2 car Un=n*n+n par hypothèse
ceci est = à (n*n)+3n+2=n^2+3n+2 n^2 veut dire "n au carré"
=n^2+2n+n+1+1
=(n^2+2n+1)+(n+1)
=(n+1)^2+(n+1) car (n+1)^2=n^2+2n+1 (IDENTITE REMARQUABLE)
=(n+1)*(n+1)+(n+1)
Donc la proposition est héréditaire
CONCLUSION: La proposition est vraie au rang n=0
la proposition est héréditaire
Donc la proposition est vraie quelque soit n supérieur ou égal à 0
donc Un=n*n+n pour tout n supérieur ou égal à 0
Donc la proposition est vraie au rang n=0
HEREDITE: On émet l'hypothèse de récurrence : Un=n*n+n
Voyons si Un+1=(n+1)*(n+1)+(n+1)
On sait que Un+1=Un+2n+2
qui est = (n*n+n)+2n+2 car Un=n*n+n par hypothèse
ceci est = à (n*n)+3n+2=n^2+3n+2 n^2 veut dire "n au carré"
=n^2+2n+n+1+1
=(n^2+2n+1)+(n+1)
=(n+1)^2+(n+1) car (n+1)^2=n^2+2n+1 (IDENTITE REMARQUABLE)
=(n+1)*(n+1)+(n+1)
Donc la proposition est héréditaire
CONCLUSION: La proposition est vraie au rang n=0
la proposition est héréditaire
Donc la proposition est vraie quelque soit n supérieur ou égal à 0
donc Un=n*n+n pour tout n supérieur ou égal à 0
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