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Sagot :
Bonjour
Il suffit de résoudre le système composé par les équations des deux courbes.
[tex]\left\{\begin{matrix}y=x^2\\y=10x+9 \end{matrix}\right.[/tex]
En identifiant les membres de droite, nous avons :
[tex]x^2 = 10x + 9\\x^2-10x-9=0\\(x^2-10x+5^2)-5^2-9=0\\(x-5)^2-25-9=0\\(x-5)^2-34=0\\(x-5)^2-(\sqrt{34})^2=0\\(x-5-\sqrt{34})(x-5+\sqrt{34})=0\\x-5-\sqrt{34}=0\ \ ou\ \ x-5+\sqrt{34}=0\\\\\boxed{x=5+\sqrt{34}\ \ ou\ \ x=5-\sqrt{34}}[/tex]
Remplaçons x par ces valeurs dans l'équation y = 10x + 9
[tex]Si\ x=5+\sqrt{34},\ alors\ y=10(5+\sqrt{34})+9\\Si\ x=5+\sqrt{34},\ alors\ y=50+10\sqrt{34}+9\\Si\ x=5+\sqrt{34},\ alors\ y=59+10\sqrt{34}\\\\\\Si\ x=5-\sqrt{34},\ alors\ y=10(5-\sqrt{34})+9\\Si\ x=5-\sqrt{34},\ alors\ y=50-10\sqrt{34}+9\\Si\ x=5-\sqrt{34},\ alors\ y=59-10\sqrt{34}[/tex]
Par conséquent, les points d'intersections entre P et d sont
[tex]A(5+\sqrt{34}\ ;\ 59+10\sqrt{34})\ \ et\ \ B(5-\sqrt{34}\ ;\ 59-10\sqrt{34})[/tex]
N.B. : Nous pouvions résoudre l'équation x²-10x-9=0 par le calcul du discriminant :
[tex]x^2-10x-9=0\\\\\Delta=(-10)^2-4\times1\times(-9)=100+36=136\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{10-\sqrt{136}}{2}=\dfrac{10-\sqrt{4\times34}}{2}=\dfrac{10-2\sqrt{34}}{2}\\\\=\dfrac{2(5-\sqrt{34})}{2}=\boxed{5-\sqrt{34}}\\\\x_2=\dfrac{10+\sqrt{136}}{2}=\dfrac{10+\sqrt{4\times34}}{2}=\dfrac{10+2\sqrt{34}}{2}\\\\=\dfrac{2(5+\sqrt{34})}{2}=\boxed{5+\sqrt{34}}[/tex]
Il suffit de résoudre le système composé par les équations des deux courbes.
[tex]\left\{\begin{matrix}y=x^2\\y=10x+9 \end{matrix}\right.[/tex]
En identifiant les membres de droite, nous avons :
[tex]x^2 = 10x + 9\\x^2-10x-9=0\\(x^2-10x+5^2)-5^2-9=0\\(x-5)^2-25-9=0\\(x-5)^2-34=0\\(x-5)^2-(\sqrt{34})^2=0\\(x-5-\sqrt{34})(x-5+\sqrt{34})=0\\x-5-\sqrt{34}=0\ \ ou\ \ x-5+\sqrt{34}=0\\\\\boxed{x=5+\sqrt{34}\ \ ou\ \ x=5-\sqrt{34}}[/tex]
Remplaçons x par ces valeurs dans l'équation y = 10x + 9
[tex]Si\ x=5+\sqrt{34},\ alors\ y=10(5+\sqrt{34})+9\\Si\ x=5+\sqrt{34},\ alors\ y=50+10\sqrt{34}+9\\Si\ x=5+\sqrt{34},\ alors\ y=59+10\sqrt{34}\\\\\\Si\ x=5-\sqrt{34},\ alors\ y=10(5-\sqrt{34})+9\\Si\ x=5-\sqrt{34},\ alors\ y=50-10\sqrt{34}+9\\Si\ x=5-\sqrt{34},\ alors\ y=59-10\sqrt{34}[/tex]
Par conséquent, les points d'intersections entre P et d sont
[tex]A(5+\sqrt{34}\ ;\ 59+10\sqrt{34})\ \ et\ \ B(5-\sqrt{34}\ ;\ 59-10\sqrt{34})[/tex]
N.B. : Nous pouvions résoudre l'équation x²-10x-9=0 par le calcul du discriminant :
[tex]x^2-10x-9=0\\\\\Delta=(-10)^2-4\times1\times(-9)=100+36=136\ \textgreater \ 0\\\\x_1=\dfrac{10-\sqrt{136}}{2}=\dfrac{10-\sqrt{4\times34}}{2}=\dfrac{10-2\sqrt{34}}{2}\\\\=\dfrac{2(5-\sqrt{34})}{2}=\boxed{5-\sqrt{34}}\\\\x_2=\dfrac{10+\sqrt{136}}{2}=\dfrac{10+\sqrt{4\times34}}{2}=\dfrac{10+2\sqrt{34}}{2}\\\\=\dfrac{2(5+\sqrt{34})}{2}=\boxed{5+\sqrt{34}}[/tex]
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