Bonjour Boarward
Exercice 8
[tex]f(x)=(1+\dfrac{1}{x})^2-3\\\\f(-1)=(1+\dfrac{1}{-1})^2-3\\\\f(-1)=(1-1)^2-3\\\\f(-1)=0-3\\\\\boxed{f(-1)=-3}[/tex]
L'image de -1 par f est égale à -3.
[tex]f(\dfrac{1}{2})=(1+\dfrac{1}{\frac{1}{2}})^2-3\\\\f(\dfrac{1}{2})=(1+2)^2-3\\\\f(\dfrac{1}{2})=3^2-3\\\\f(\dfrac{1}{2})=9-3\\\\\boxed{f(\dfrac{1}{2})=6}[/tex]
L'image de 1/2 par f est égale à 6.
[tex]f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=(1+\dfrac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}})^2-3\\\\f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=(1+\dfrac{2}{\sqrt{2}})^2-3\\\\f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=(1+\sqrt{2})^2-3\\\\f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=1^2+2\times1\times\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2-3\\\\f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=1+2\sqrt{2}+2-3\\\\\boxed{f(\dfrac{\sqrt{2}}{2})=2\sqrt{2}}[/tex]
L'image de √2/2 par f est égale à 2√2.
2) Le nombre 2 est un antécédent de -3/4 par f si f(2) = -3/4.
[tex]f(2)=(1+\dfrac{1}{2})^2-3\\\\f(2)=(\dfrac{3}{2})^2-3\\\\f(2)=\dfrac{9}{4}-3\\\\f(2)=\dfrac{9}{4}-\dfrac{12}{4}\\\\\boxed{f(2)=-\dfrac{3}{4}}[/tex]
Par conséquent, puisque f(2) = -3/4, le nombre 2 est un antécédent de -3/4 par f
3) Le point A(-1;-3) appartient à Cf si f(-1) = -3, ce qui a été démontré dans la question 1.
D'où, le point A(-1;-3) appartient à Cf.
Le point B(√2/2 ; 2√2) appartient à Cf si f(√2/2) = 2√2, ce qui a été démontré dans la question 1.
D'où, le point B(√2/2 ; 2√2) appartient à Cf.
4) Graphique en pièce jointe.
5) Résoudre graphiquement l'inéquation f(x) > x revient à déterminer l'ensemble des valeurs de x telles que le graphique représentant la fonction f est situé au-dessus de la droite d'équation y = x.
Graphiquement, nous voyons que certaines de ces valeurs sont comprises entre -2,6 et -0,4 et que d'autres sont supérieures à 1.
Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation serait (selon le graphique) égal à [tex]\boxed{]-2,6\ :\ -0,4[\ \cup\ ]1\ ;\ +\infty[}[/tex]
Exercice 9
1) [tex]D=[0\ ;\ 4][/tex]
2) On sait que AP = MN car AMNP est un rectangle.
On sait également que MB = AB-AM = 4-x
Par Thalès dans le triangle ABC,
[tex]\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{MB}{AB}\\\\\dfrac{MN}{8}=\dfrac{4-x}{4}\\\\MN=8\times\dfrac{4-x}{4}\\\\MN=2(4-x)[/tex]
D'où, AP = MN = 2(4-x)
[tex]3)\ f(x) = AM\times AP\\\\f(x)=x\times2(4-x)\\\\\boxed{f(x)=2x(4-x)}\\\\\\g(x)=\dfrac{PN\times CP}{2}\\\\\boxed{g(x)=\dfrac{x(8-x)}{2}}[/tex]
4) Graphique en pièce jointe.
5) Le rectangle AMNP est le plus grand possible si f est maximal.
Or le maximum de f se produit pour x = 2 (abscisse du point A).
Par conséquent, le rectangle AMNP est le plus grand possible si AM = 2 cm.
6) Nous déterminerons les valeurs de x pour lesquelles le graphique représentant la fonction f est au-dessus du graphique représentant la fonction g.
Graphiquement, nous voyons que ces valeurs de x sont comprises entre 0 et 2,7.
Donc, le point M doit être tel que 0 < AM < 2,7
