Bonjour Albert5
1) Pour vérifier que le triangle ABC est rectangle en A, nous utiliserons la réciproque du théorème de Pythagore et démontrerons que AB²+AC² = BC²
Si x = 0,
alors
[tex]AB = 3x+3 = 3\times0+6 = 0+6 = 6\\\boxed{AB=6}\\\\AC=4x+8=4\times0+8=0+8=8\\\boxed{AC=8}\\\\BC=5x+10=5\times0+10=0+10=10\\\boxed{AC=10}\\\\[/tex]
[tex]AB^2+AC^2=6^2+8^2\\AB^2+AC^2=36+64\\AB^2+AC^2=100\\AB^2+AC^2=10^2\\\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est donc rectangle en A.
Si x = 1,
alors
[tex]AB = 3x+3 = 3\times1+6 = 3+6 = 9\\\boxed{AB=9}\\\\AC=4x+8=4\times1+8=4+8=12\\\boxed{AC=12}\\\\BC=5x+10=5\times1+10=5+10=15\\\boxed{AC=15}\\\\[/tex]
[tex]AB^2+AC^2=9^2+12^2\\AB^2+AC^2=81+144\\AB^2+AC^2=225\\AB^2+AC^2=15^2\\\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est donc rectangle en A.
Si x = 2,
alors
[tex]AB = 3x+3 = 3\times2+6 = 6+6 = 12\\\boxed{AB=12}\\\\AC=4x+8=4\times2+8=8+8=16\\\boxed{AC=16}\\\\BC=5x+10=5\times2+10=10+10=20\\\boxed{AC=20}\\\\
[/tex]
[tex]AB^2+AC^2=12^2+16^2\\AB^2+AC^2=144+256\\AB^2+AC^2=400\\AB^2+AC^2=20^2\\\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est donc rectangle en A.
2) Montrons que la relation de Pythagore est vraie quelle que soit la valeur de x.
[tex]AB^2+AC^2=(3x+6)^2+(4x+8)^2\\AB^2+AC^2=(9x^2+36x+36)+(16x^2+64x+64)\\AB^2+AC^2=(9x^2+16x^2)+(36x+64x)+(36+64)\\AB^2+AC^2=25x^2+100x+100\\AB^2+AC^2=(5x)^2+2\times5x\times10+10^2\\AB^2+AC^2=(5x+10)^2\\\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Puisque la relation de Pythagore est vraie quelle que soit la valeur de x, le triangle est rectangle en A (quelle que soit la valeur de x).
3) Et si x = -1 ?
[tex]AB = 3x+3 = 3\times(-1)+6 = -3+6 = 3\\\boxed{AB=3}\\\\AC=4x+8=4\times(-1)+8=-4+8=4\\\boxed{AC=4}\\\\BC=5x+10=5\times(-1)+10=-5+10=5\\\boxed{AC=5}[/tex]
[tex]AB^2+AC^2=3^2+4^2\\AB^2+AC^2=9+16\\AB^2+AC^2=25\\AB^2+AC^2=5^2\\\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est donc rectangle en A.
Le triangle ABC sera toujours rectangle en A, même pour d'autres valeurs de x négatives.
En effet, nous avons montré dans la question 2, que ce triangle était rectangle en A quelle que soit la valeur de x (même négative...)
