11)en faisant sortir a^2 et b^(n+3) de la somme on obtient ∑a^kb^(-k)
si on pose c =ab^(-1) on doit calculer ∑c^k pour k de 1 à n+2 ce qui donne
(c - c^(n+3) )/( 1 -c) ou c( 1- c^(n+2) ) /( 1-c) le résultat final est donc
a^2*b^(n+3) *a b^(-1)* ( 1- a^(n+2)*b^(-n-2) ) / ( 1 - ab^-1)
ça se simplifie encore un peu mais pas tellement
a^3 b^(n+2) ( 1 - a^(n+2)*b^(-n-2) ) / ( 1 - ab^-1)
ou bien
a^3 *( b^(n+2) - a^(n+2) ) / ( 1 - ab^-1 )
12)fonction f(x) = e^x -1 - x - x^2/2
dérivée f '(x) = e^x - 1 - x
dérivée seconde f'' (x) = e^x - 1 la dérivée seconde f ''(x) a le signe de x
si x <0 f ''(x) <0 et si x >0 f''(x) > 0 ceci prouve que f '(x) a un minimum
pour x =0 : ce minimum f '(0) est égal à 0 donc la dérivée f '(x) est toujours
positive quel que soit x
ceci montre que la fonction f est croissante sur IR
il est facile de voir que f(0)= 0
conclusion
si x <0 f(x) <0 et si x>0 alors f(x) >0
la réponse du plus grand intervalle est l'intervalle [ 0; +∞ [
