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Bonjour, j'ai une question que je n'arrive pas à résoudre, pouvez vous m'aider:
Quels sont les nombres complexes z tels que Z, (1/z) et (1-z) aient le même module ?
On justifiera sa réponse...


et aussi un deuxième exercice que j'ai réussi mais pas les deux dernières questions :
je bloque aux questions 3)c et 4) de cet exo quelqu'un pourrait il m'aiguiller ?
1) Résoudre dans R l'équation x²-3x-4=0
2) En désuire les solutions réelles de x (puissance 4) -3x²-4=0
3) On considère dans C l'équation z²= 3- 4i
a) Montrer que cette équation équivaut à résoudre le système (S) : z= x+iy
x²-y²=3
xy= -2
b) Démontrer que (x;y) est solution du système x²-y²=3 et xy= -2 ssi il est solution du système (S'):
x(puissance4) -3x²-4=0 et y= (-2)/x

c) En déduire les solutions du système S' puis celle de S

4) Conclure

Pour la 1) j ai 4 et -1
Pour la 2) j ai 2 et -2 en solutions reeles et i et -i pour les solutions complexes
Pour la 3) a et b j ai démontré ce qu il fallait trouver maintenant je bloque


Sagot :

Laurance


pour  que  z et 1/ z  aient  le même  module  il faut   que  |z|  =  1 / |z|  

d'où  nécessairement   |z|²  =  1   autrement dit     si  z =x +iy   il est nécessaire que

x² +y² = 1    après  il y a encore   |z|  = | 1-z|   ce qui entraîne  bien entendu 

| 1-z|² = |z|² =  1     autrement dit     (x-1)² + y² = 1 

d'où  un système  :  x² + y² =  1  ;    (x-1)² + y² = 1 

on voit facilement  qu'il faut avoir    x² = (x-1)²  = x² - 2x +1    donc   x = 1/2 

puis de  x² + y² = 1   on déduit    y² = 3/4     ce qui donne pour  y : √3 / 2    et  - √3  /2 


pour  la 2 )  l'énoncé demande les solutions réelles  donc  il faut pas donner  i et - i

seulement 2 et -2

x² - y² =  3 et  xy = -2     si  x  vaut   2      y vaut  -2/x =  -1

et si x vaut  -2  alors  y vaut 1      conclusion   z² = 3-4 i  a bien deux solutions

2 -i    et  -2 +i 

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