Bonjour Soukaiinaa
Soit la fonction définie sur R par f(x)=x²-9-2(x-3)(x+2).
1) Développer et réduire f(x)
[tex]f(x)=x^2-9-2(x-3)(x+2)\\f(x)=x^2-9-2(x^2+2x-3x-6)\\f(x)=x^2-9-2(x^2-x-6)\\f(x)=x^2-9-2x^2+2x+12\\f(x)=x^2-2x^2+2x-9+12\\\\\boxed{f(x)=-x^2+2x+3}[/tex]
2) Factoriser f(x)
[tex] f(x)=x^2-9-2(x-3)(x+2)\\ f(x)=(x^2-3^2)-2(x-3)(x+2))\\ f(x)=(x-3)(x+3)-2(x-3)(x+2)\\ f(x)=(x-3)[(x+3)-2(x+2)]\\ f(x)=(x-3)(x+3-2x-4)\\\\\boxed{ f(x)=(x-3)(-x-1)}[/tex]
[
3) Résoudre l'inéquation f(x) ≤ 0
Tableau de signes de f(x).
Racines :
[tex]f(x)=0\\(x-3)(-x-1)=0\\x-3=0\ \ ou\ \ -x-1=0\\x=3\ \ ou\ \ -x=1\\x=3\ \ ou\ \ x=-1\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&3&&+\infty \\ x-3&&-&-&-&0&+&\\-x-1&&+&0&-&-&-&\\f(x)=(x-3)(-x-1)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}\\\\\\f(x)\le0\Longleftrightarrow x\in\ ]-\infty\ ;\ -1]\ \cup\ [3\ ;\ +\infty[[/tex]
D'où, l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) ≤ 0 est [tex]S=]-\infty\ ;\ -1]\ \cup\ [3\ ;\ +\infty[[/tex]
4) résoudre l'équation f(x)=4
[tex]-x^2+2x+3=4\\x^2-2x-3+4=0\\x^2-2x+1=0\\(x-1)^2=0\\x-1=0\\\\\boxed{x=1}[/tex]
5) Donner le tableau de variation de f
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&1&&+\infty \\f(x)&&\nearrow&4&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
