Sagot :
Bonjour Raphdu18
1) a) Variations de f sur [1 ; +oo[
[tex]\boxed{f(x)= \dfrac{4x-2}{x+1}}\\\\f'(x)=\dfrac{(4x-2)'(x+1)-(x+1)'(4x-2)}{(x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{4(x+1)-1(4x-2)}{(x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{4x+4-4x+2}{(x+1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{6}{(x+1)^2}}[/tex]
[tex]f'(x)\ \textgreater \ 0\ car\ 6\ \textgreater \ 0\ et\ (x+1)^2\ \textgreater \ 0[/tex]
Par conséquent, la fonction f est strictement croissante sur [1 ; +oo[
[tex]b)\ f(x)= \dfrac{4x-2}{x+1}\Longrightarrow f(1)= \dfrac{4\times1-2}{1+1}=\dfrac{2}{2}=1[/tex]
Puisque la fonction f est croissante sur l'intervalle [1 ; +oo[ et que f(1)=1> 0,
nous en déduisons que f(1) ≥ 1 pour tout x de l'intervalle [1 ; +oo[
2) Nous savons que [tex]u_{n+1}= \dfrac{4u_n-2}{u_n+1}\ \ et\ \ f(x)= \dfrac{4x-2}{x+1}[/tex]
D'où [tex]\boxed{u_{n+1}=f(u_n)}[/tex]
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex]u_n\ge1[/tex]
Initialisation : montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
[tex]u_0\ge1\ car\ u_0=3\ \textgreater \ 1[/tex]
Hérédité.
Si la propriété est vraie au rang n, quel que soit n, montrons que cette propriété est encore vraie au rang n+1.
Si pour tout entier n, [tex]u_n\ge1[/tex], montrons que [tex]u_{n+1}\ge1[/tex]
Dans la question 1), nous avons montré que si x ≥ 1, alors f(x) ≥ 1.
Remplaçons x par [tex]u_n[/tex]
[tex]si\ u_n \ge 1,\ alors\ f(u_n)\ge1[/tex]
ce qui revient à écrire : [tex]\boxed{si\ u_n \ge 1,\ alors\ u_{n+1}\ge1}[/tex]
L'hérédité est donc démontrée.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, alors la propriété "pour tout entier naturel n, [tex]u_n\ge1[/tex]" est démontrée pour tout entier n.
3) Montrons par récurrence que la suite (Un) est décroissante.
Initialisation :
[tex]u_0=3\\\\u_1= \dfrac{4u_0-2}{u_0+1}= \dfrac{4\times3-2}{3+1}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}=2.5[/tex]
Donc [tex]\boxed{u_0\ \textgreater \ u_1}[/tex]
Hérédité :
Si la propriété est vraie au rang n, quel que soit n, montrons que cette propriété est encore vraie au rang n+1.
[tex]Si\ u_n\ \textgreater \ u_{n+1},\ alors\ montrons\ que\ \ u_{n+1}\ \textgreater \ u_{n+2}[/tex]
En effet :
[tex]u_{n+1}=f(u_n)[/tex]
De plus, f est croissante sur [1 ; +oo[ et [tex]u_n\ge1[/tex] pour tout entier n.
D'où [tex]u_n\ \textgreater \ u_{n+1}\Longrightarrow f(u_n)\ \textgreater \ f(u_{n+1})[/tex]
Or [tex]f(u_{n+1})=u_{n+2}[/tex]
Par conséquent,
[tex]u_n\ \textgreater \ u_{n+1}\Longrightarrow f(u_n)\ \textgreater \ f(u_{n+1})\\\\soit\\\\\boxed{u_n\ \textgreater \ u_{n+1}\Longrightarrow u_{n+1}\ \textgreater \ u_{n+2}}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, alors la propriété "la suite (Un) est décroissante." est démontrée pour tout entier n.
1) a) Variations de f sur [1 ; +oo[
[tex]\boxed{f(x)= \dfrac{4x-2}{x+1}}\\\\f'(x)=\dfrac{(4x-2)'(x+1)-(x+1)'(4x-2)}{(x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{4(x+1)-1(4x-2)}{(x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{4x+4-4x+2}{(x+1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{6}{(x+1)^2}}[/tex]
[tex]f'(x)\ \textgreater \ 0\ car\ 6\ \textgreater \ 0\ et\ (x+1)^2\ \textgreater \ 0[/tex]
Par conséquent, la fonction f est strictement croissante sur [1 ; +oo[
[tex]b)\ f(x)= \dfrac{4x-2}{x+1}\Longrightarrow f(1)= \dfrac{4\times1-2}{1+1}=\dfrac{2}{2}=1[/tex]
Puisque la fonction f est croissante sur l'intervalle [1 ; +oo[ et que f(1)=1> 0,
nous en déduisons que f(1) ≥ 1 pour tout x de l'intervalle [1 ; +oo[
2) Nous savons que [tex]u_{n+1}= \dfrac{4u_n-2}{u_n+1}\ \ et\ \ f(x)= \dfrac{4x-2}{x+1}[/tex]
D'où [tex]\boxed{u_{n+1}=f(u_n)}[/tex]
Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, [tex]u_n\ge1[/tex]
Initialisation : montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
[tex]u_0\ge1\ car\ u_0=3\ \textgreater \ 1[/tex]
Hérédité.
Si la propriété est vraie au rang n, quel que soit n, montrons que cette propriété est encore vraie au rang n+1.
Si pour tout entier n, [tex]u_n\ge1[/tex], montrons que [tex]u_{n+1}\ge1[/tex]
Dans la question 1), nous avons montré que si x ≥ 1, alors f(x) ≥ 1.
Remplaçons x par [tex]u_n[/tex]
[tex]si\ u_n \ge 1,\ alors\ f(u_n)\ge1[/tex]
ce qui revient à écrire : [tex]\boxed{si\ u_n \ge 1,\ alors\ u_{n+1}\ge1}[/tex]
L'hérédité est donc démontrée.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, alors la propriété "pour tout entier naturel n, [tex]u_n\ge1[/tex]" est démontrée pour tout entier n.
3) Montrons par récurrence que la suite (Un) est décroissante.
Initialisation :
[tex]u_0=3\\\\u_1= \dfrac{4u_0-2}{u_0+1}= \dfrac{4\times3-2}{3+1}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}=2.5[/tex]
Donc [tex]\boxed{u_0\ \textgreater \ u_1}[/tex]
Hérédité :
Si la propriété est vraie au rang n, quel que soit n, montrons que cette propriété est encore vraie au rang n+1.
[tex]Si\ u_n\ \textgreater \ u_{n+1},\ alors\ montrons\ que\ \ u_{n+1}\ \textgreater \ u_{n+2}[/tex]
En effet :
[tex]u_{n+1}=f(u_n)[/tex]
De plus, f est croissante sur [1 ; +oo[ et [tex]u_n\ge1[/tex] pour tout entier n.
D'où [tex]u_n\ \textgreater \ u_{n+1}\Longrightarrow f(u_n)\ \textgreater \ f(u_{n+1})[/tex]
Or [tex]f(u_{n+1})=u_{n+2}[/tex]
Par conséquent,
[tex]u_n\ \textgreater \ u_{n+1}\Longrightarrow f(u_n)\ \textgreater \ f(u_{n+1})\\\\soit\\\\\boxed{u_n\ \textgreater \ u_{n+1}\Longrightarrow u_{n+1}\ \textgreater \ u_{n+2}}[/tex]
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, alors la propriété "la suite (Un) est décroissante." est démontrée pour tout entier n.
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