Bonjour Nadiahijri
Démontrer que montrer que ∀(x,y,z)∈ℝ³ : (x²+4yz+2z=0 et x+2xy+2z²=0) => (2xz+y²+y+1≠0)
revient à démontrer qu'il n'existe pas de réels x, y et z tels que x²+4yz+2z=0 et x+2xy+2z²=0 et 2xz+y²+y+1=0.
Soit (1) : x²+4yz+2z=0
(2) : x+2xy+2z²=0
(3) : 2xz+y²+y+1=0.
Si x = 0,
alors la relation (3) serait équivalente à y²+y+1=0.
Cette dernière équation n'admet pas de solution puisque son discriminant Δ = 1²-4*1*1=1-4=-3 <0.
Donc la proposition "il existe y et z tels que x²+4yz+2z=0 et x+2xy+2z²=0 et 2xz+y²+y+1=0" n'est pas vraie pour x = 0 puisque y n'existe pas,
Si z = 0,
alors la relation (1) deviendrait : x² = 0, soit x = 0 et la conclusion serait identique au cas précédent.
D'où, puisque x et z ne peuvent pas être nuls, nous en déduisons que le produit xz ≠ 0.
(1) : x²+4yz+2z=0 ==> x² = -4yz-2z
==> x² = -2z(2y+1) (3)
(2) : x+2xy+2z²=0 ==> 2z² = 2xy-x
==> 2z² = -x(2y+1) (4)
D'où (3) * (4) ==> 2x²z² = [-2z(2y+1)]*[-x(2y+1)]
2x²z² = 2xz(2y+1)²
Disons les deux membres par xz ≠ 0
2xz = 2(2y+1)²
Dans la relation (3) : 2xz+y²+y+1=0, remplaçons 2xz par 2(2y+1)².
2(2y+1)² + y² + y+ 1 = 0
2(4y² + 4y+ 1) + y² + y+ 1 = 0
8y² + 8y + 2 + y² + y+ 1 = 0
9y² + 9y + 3 = 0
3(3y² + 3y + 1) = 0
3y² + 3y + 1 = 0
Cette dernière équation n'admet pas de solution puisque son discriminant Δ = 3²-4*3*1=9-12=-3 <0.
Par conséquent, il n'existe aucune valeur de x, y et z telle que x²+4yz+2z=0 et x+2xy+2z²=0 et 2xz+y²+y+1=0.
On en déduit donc que ∀(x,y,z)∈ℝ³ : (x²+4yz+2z=0 et x+2xy+2z²=0) => (2xz+y²+y+1≠0)
