je te propose une piste qui n'est peut être pas la plus rapide ou la plus simple mais on arrive assez souvent au résultat par cette méthode c'est d'inventer un repère orthonormé
ici on peut choisir un repère d'origine A donc A(0;0)
dans lequel B aurait comme coordonnées (6;0) D(0;6) et C(6;6)
ce qui donne facilement les coordonnées de I(2; 0) et de J(0;4)
on peut alors chercher les coordonnées du point K intersection des droites (ID) et (JC)
en écrivant que les vecteurs IK (x -2 ;y-0) et ID(0-2; 6-0) sont colinéaires puis que les vecteurs JK(x-0;y-4) et JC(6-0 ; 6 -4) sont colinéaires par les équations
(x-2)*6=y*(-2) et x*2 = (y-4)*6 ou (x-2)*3 = - y et x=(y-4)*3 puis
3x - 6 = -y et x = 3y -12 enfin 3(3y-12) - 6 = - y va donner yK
9y - 36 - 6 = - y 10y = 42 yK=4 ,2 xK= 3*4,2 - 12 = 12,6 -12 = 0,6
K( 0,6 ; 4,2)
pour montrer que (ID) et (JC) sont perpendiculaires il suffit de montrer que les vecteurs ID et JC sont orthogonaux ( je suppose que tu connais le produit scalaire)
ID(- 2; 6) JC(6 ;2 ) produit scalaire = -2*6 + 6*2 = 0
ça prouve que les vecteurs ID et JC sont orthogonaux
calcul de DK * DI
comme les vecteurs DK(0,6 -0 ;4,2 -6 ) et DI ( 2; -6)
sont colinéaires et de même sens le produit scalaire
DK.DI est égal au produit des longueurs DK et DI
on fait donc le produit scalaire = 0,6 *2 + (-1,8) *(-6) = 1,2 + 10,8 = 12
or DA = 6 DA² = 36 et 1/3 * 36 = 12 ce qui prouve l'égalité
DK * DI = 1/3 *DA²
DK = 12 / DI
or DI² = 2² +(-6)² = 4 + 36 = 40 donc
DI = rac(40) = 2rac(10)
DK= 12 /(2*rac(10) ) = 6 / rac(10)
le triangle ALI est rectangle en L donc AL² + IL² = AI²
or AL est la hauteur issue de A dans le triangle rectangle ADI
aire (ADI) =AD*AI/2 = DI*AL/2
6 * 2 /2 = 2 rac(10) * AL/2 donc AL = 6 / rac(10)
on en déduit 36 /10 + IL² = 4 IL² = 4 - 3,6 = 0,4
IL = rac( 0,4) = rac(4/10) = 2 / rac(10)
DK+KL + LI= DI donc KL = 2rac(10) - 6 /rac(10) - 2/ rac(10)
KL = ( 2*10 - 6 - 2) / rac(10) = 12 / rac(10)
on peut remarquer que 12 /rac(10) = 6/5 * rac(10) c'est pareil
