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Sagot :
1a) AD=1/2*AC donc D(0;1/2)
AE=1/3*AB donc E(1/3;0)
BF=BA+AF=2BC=2BA+2AC
Donc AF=2BA-BA+2AC=-AB+2AC
Donc F(-1;2)
1b) On calcule les longueurs DE, DF et FE
DE=√((1/3-0)²+(0-1/2)²)=√(1/9+1/4)=√(13/36)=√13/6
DF=√((-1-0)²+(2-1/2)²)=√(1+9/4)=√(13/4)=√13/2
EF=√((-1-1/3)²+(2-0)²)=√(16/9+4)=√(52/9)=2√13/3
Or DE+DF=√13/6+√13/2=√13/6+3√13/6=4√13/6=2√13/3=EF
DE+DF=EF donc D, E et F sont alignés
2a) DE=DA+AE=-1/2*AC+1/3*AB
DF=DA+AB+BF=-1/2*AC+AB+2BC=-1/2*AC+AB+2BA+2AC=3/2*AC-AB
Donc DF=-3(-1/2*AC+1/3*AB)=-3DE
DF et DE sont colinéaires donc D, E et F sont alignés
3a) DE // CI donc on applique Thalès :
AD/AC=AE/AI
Or D est le milieu de AC (puisque AD=1/2*AC) donc AD/AC=1/2
Donc AE/AI=1/2 : E est le milieu de AI
3b) AE=1/3*AB et donc EB=2/3*AB
Or AE=EI
Donc EI=1/2*2/3*AB=1/2*EB donc I est le milieu de EB
3c) C est le milieu de BF puisque BF=2BC
Donc BC/BF=1/2
De plus BI/BE=1/2
Donc BC/BF=BI/BE d'après la réciproque de Thalès, CI // FE.
Or CI // DE donc D, E et F sont alignés
AE=1/3*AB donc E(1/3;0)
BF=BA+AF=2BC=2BA+2AC
Donc AF=2BA-BA+2AC=-AB+2AC
Donc F(-1;2)
1b) On calcule les longueurs DE, DF et FE
DE=√((1/3-0)²+(0-1/2)²)=√(1/9+1/4)=√(13/36)=√13/6
DF=√((-1-0)²+(2-1/2)²)=√(1+9/4)=√(13/4)=√13/2
EF=√((-1-1/3)²+(2-0)²)=√(16/9+4)=√(52/9)=2√13/3
Or DE+DF=√13/6+√13/2=√13/6+3√13/6=4√13/6=2√13/3=EF
DE+DF=EF donc D, E et F sont alignés
2a) DE=DA+AE=-1/2*AC+1/3*AB
DF=DA+AB+BF=-1/2*AC+AB+2BC=-1/2*AC+AB+2BA+2AC=3/2*AC-AB
Donc DF=-3(-1/2*AC+1/3*AB)=-3DE
DF et DE sont colinéaires donc D, E et F sont alignés
3a) DE // CI donc on applique Thalès :
AD/AC=AE/AI
Or D est le milieu de AC (puisque AD=1/2*AC) donc AD/AC=1/2
Donc AE/AI=1/2 : E est le milieu de AI
3b) AE=1/3*AB et donc EB=2/3*AB
Or AE=EI
Donc EI=1/2*2/3*AB=1/2*EB donc I est le milieu de EB
3c) C est le milieu de BF puisque BF=2BC
Donc BC/BF=1/2
De plus BI/BE=1/2
Donc BC/BF=BI/BE d'après la réciproque de Thalès, CI // FE.
Or CI // DE donc D, E et F sont alignés
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