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Sagot :
Bonjour Nihalebendriouch
1) Quel est le format d'un rectangle de longueur L = 5 cm et de largeur l = 2 cm ?
[tex]f=\dfrac{L}{l}\\\\f=\dfrac{5}{2}=2,5[/tex]
2) On considère un rectangle ABCD de largeur l = 1 cm et de longueur L = x cm. (1 < x < 2)
a) Exprimer (en fonction de x) le format f du rectangle ABCD.
[tex]f=\dfrac{L}{l}\\\\f=\dfrac{x}{1}\\\\f=x[/tex]
b) On découpe dans le rectangle ABCD un carré ABOR.
Exprimer (en fonction de x) le format f' du rectangle ORDC.
OR = 1
RD = AD-AR = x-1
D'où
[tex]f=\dfrac{L}{l}\\\\f=\dfrac{1}{x-1}[/tex]
c) Quelle valeur donner à x pour que les rectangles ABCD et ORDC aient le même format ?
(On se ramènera à une équation du second degré)
[tex]x=\dfrac{1}{x-1}\\\\x(x-1)=1\\\\x^2-x=1\\\\\boxed{x^2-x-1=0}[/tex]
[tex]\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-1)=1+4=5\\\\x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx-0,6\\\\x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,6[/tex]
La seule valeur à retenir est [tex]x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] car x doit être supérieur à 1.
D'où [tex]\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
d) On note "o/" cette valeur. Déterminer o/ - 1 ; o/ (o/ - 1) et 1/o/
[tex] \phi-1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1 \\\\ \phi-1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{2}{2} \\\\ \phi-1=\dfrac{1+\sqrt{5}-2}{2} \\\\ \boxed{\phi-1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}[/tex]
[tex]\phi[/tex] est solution de l'équation [tex]x^2-x-1=0.[/tex]
D'où, nous pouvons écrire :
[tex]\phi^2-\phi-1=0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\phi^2-\phi=1\\\\\boxed{\phi(\phi-1)=1}[/tex]
[tex]\phi^2-\phi-1=0\\\\Divisons\ les\ deux\ membres\ par\ \phi\\\\\phi-1-\dfrac{1}{\phi}=0\\\\\phi-1=\dfrac{1}{\phi}\\\\\dfrac{1}{\phi}=\phi-1\\\\\boxed{\dfrac{1}{\phi}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}[/tex]
1) Quel est le format d'un rectangle de longueur L = 5 cm et de largeur l = 2 cm ?
[tex]f=\dfrac{L}{l}\\\\f=\dfrac{5}{2}=2,5[/tex]
2) On considère un rectangle ABCD de largeur l = 1 cm et de longueur L = x cm. (1 < x < 2)
a) Exprimer (en fonction de x) le format f du rectangle ABCD.
[tex]f=\dfrac{L}{l}\\\\f=\dfrac{x}{1}\\\\f=x[/tex]
b) On découpe dans le rectangle ABCD un carré ABOR.
Exprimer (en fonction de x) le format f' du rectangle ORDC.
OR = 1
RD = AD-AR = x-1
D'où
[tex]f=\dfrac{L}{l}\\\\f=\dfrac{1}{x-1}[/tex]
c) Quelle valeur donner à x pour que les rectangles ABCD et ORDC aient le même format ?
(On se ramènera à une équation du second degré)
[tex]x=\dfrac{1}{x-1}\\\\x(x-1)=1\\\\x^2-x=1\\\\\boxed{x^2-x-1=0}[/tex]
[tex]\Delta=(-1)^2-4\times1\times(-1)=1+4=5\\\\x_1=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\approx-0,6\\\\x_2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1,6[/tex]
La seule valeur à retenir est [tex]x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] car x doit être supérieur à 1.
D'où [tex]\phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex]
d) On note "o/" cette valeur. Déterminer o/ - 1 ; o/ (o/ - 1) et 1/o/
[tex] \phi-1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-1 \\\\ \phi-1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}-\dfrac{2}{2} \\\\ \phi-1=\dfrac{1+\sqrt{5}-2}{2} \\\\ \boxed{\phi-1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}[/tex]
[tex]\phi[/tex] est solution de l'équation [tex]x^2-x-1=0.[/tex]
D'où, nous pouvons écrire :
[tex]\phi^2-\phi-1=0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\phi^2-\phi=1\\\\\boxed{\phi(\phi-1)=1}[/tex]
[tex]\phi^2-\phi-1=0\\\\Divisons\ les\ deux\ membres\ par\ \phi\\\\\phi-1-\dfrac{1}{\phi}=0\\\\\phi-1=\dfrac{1}{\phi}\\\\\dfrac{1}{\phi}=\phi-1\\\\\boxed{\dfrac{1}{\phi}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}[/tex]
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