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Bonjour, j'ai vraiment besoin d'aide s'il vous plait.

Déterminer un polynôme de degré 2 tel que P(x+1)-P(x)=2x et P(à)=0
En déduire la somme des n premiers nombres entiers pairs non nuls:
2+4+6+...+2n

Merci beaucoup à celui qui m'aidera :)

Sagot :

Laurance
P(x)= ax² + bx + x        P(x+1)=a(x+1)² + b(x+1) + c 

P(x+1) = ax² + 2ax + a + bx + b + c = P(x)  + 2ax + a + b 
si  P(x+1)= P(x) + 2x  alors  il faut que

2a = 2           et  que    a +b = 0           d'où            a =1         b=-1  c= 0

si c'est P(0)  pas  P(à ) = 0

admettons

P(x)= x²  -  x 

on en déduit que

P(n) =  n²  - n  pour  tous les entiers  n  

d'autre part

P(1+1)= P(1)+2*1 = P(2)
P(2+1) = P(2) + 2*2  = P(1) + 2*1 + 2*2  = P(3)
P(3+1)=P(3) + 2*3  = P(1) + 2*1 + 2*2 + 2*3  = P(4)
on continue jusqu'à
P(n  +1 ) = P(n)  + 2*n = P(1) + 2*1 + 2*2 + 2*3+...+2*n
or  P(n+1)= (n+1)² - (n+1) = n² +2 n + 1 - n-1 = n² +n  
et  P(1)=1-1= 0
conclusion
2*1 +2*2 +...+2*n = n² + n

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