👤
Answered

Connectez-vous avec des experts et des passionnés sur FRstudy.me. Trouvez les solutions dont vous avez besoin rapidement et précisément avec l'aide de notre communauté bien informée.

Bonjour, ça serait sympa de votre part de m'aider svp voilà merci d'avance:

1)montrer que pgcd(n-1;n+3)=pgcd(n-1;4),puis déterminer les valeurs de pgcd(n-1;n+3)
2)déterminer les nombres entiers naturels n tels que n-1 divise n+3
3)montrer que tout entier naturel strictement supérieur à 1, on a pgcd (n-1;n^2+2n-2)=1

MERCI D'AVANCE

Sagot :

Raymrich
Bonjour,
1)
Tout diviseur commun de n-1 et 4 divise leur somme n+3 et comme il divise également n-1 il est diviseur commun de n-1 et n+3.
Tout diviseur commun de n-1 et n+3 divise leur différence 4 et comme il divise également n-1, il est diviseur commun de n-1 et 4.
Donc l'ensemble E des diviseurs communs de n-1 et 4 est égal à l'ensemble F des diviseur communs de n-1 et n+3; d'où Max(E) = Max(F) = pgdc(n-1;n+3) =
pgdc(n-1;4)
2)
pgdc(n-1;4) divise n-1 et 4; or les diviseurs de 4 différents de 1 sont 2 et 4.
Donc pgdc(n-1;4) =2 ou pgdc(n-1;4) =4
Si n-1 divise n+3, alors pgdc (n-1;n+3) = n-1
pgdc(n-1;4) = 2 ⇒ n-1 = 2 ⇒ n = 3
pgdc(n-1;4) =4 ⇒ n-1 =4 ⇒n = 5
3)
Soit a = pgdc(n-1;n²+2n-2) = pgdc[n-1;n²+2(n-1)]
a divise n-1 ⇒ a divise 2(n-1)
a divisant n²+2(n-1) et 2(n-1), il divise leur différence n² et ceci pour tout entier N=n².
Or le seul entier naturel divisant tout entier N>1 est 1; donc a =1


Votre engagement est essentiel pour nous. Continuez à partager vos expériences et vos connaissances. Créons ensemble une communauté d'apprentissage dynamique et enrichissante. Chaque réponse que vous cherchez se trouve sur FRstudy.me. Merci de votre visite et à très bientôt.