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Ikramtout
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Bonjour à tous, quelqu'un pour m'aider? :))

On considère les fonctions f et g définies sur R par f(x)=3-x et g(x)= 3x²+2/x²+1.

1) Calculer en fonction du réel x, l'expression f(g(x)). (On demande l'expression réduite).
2) Montrer que pour tout réel x, 2 [tex] \leq [/tex] g(x) [tex] \leq [/tex] 3.
3) La fonction f est-elle bornée sur R?
4) Montrer que la fonction f(g(x)) est bornée sur R.

Merci d'avance. :))

Sagot :

Anylor
bonsoir,
1) f(g(x)) = 3- [ (3x² +2 )/ (x²+1)]
=[3(x²+1) -(3x²+2)] / [(x²+1)]
= 3x² +3-3x² -2 / [(x²+1)]

= 1/ (x²+1)

2)

dérivée de g(x) = 2 x /(x²+1)²

variation de g
g est continue sur R
dérivée négative  donc g décroissante  de -OO à 0
dérivée positive  donc  g croissante  de 0 à +OO

limite de (3x²+2) / ( x²+1) = 3 
quand x tend vers + OO

limite de (3x²+2) / ( x²+1) = 3
quand x tend vers – OO 

0 extremum local
g(0) = 2

donc    2 ≤   g(x) < 3

3) la fonction f  n'est pas bornée sur R, car fonction affine

4)
f(gx) = 1/ / (x²+1) 
f(g ) est continue sur R 
dérivée =   -2x / (x²+1)²
dérivée positive de -OO à 0   donc  f(g )  croissante  de -OO à 0
dérivée négative  0 à +OO donc f(g )décroissante  de 0 à +OO

limite de  1/ / (x²+1)  = 0
quand x tend vers + OO

limite de  1/ / (x²+1) = 0
quand x tend vers – OO 

0 extremum local
f(g(0)) = 1

 f(g(x) ) est bornée sur R

donc    0 <    f(g(x) )   ≤ 1

View image Anylor
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