On sait que: A (2;4) ; B (-4;1) ; C (-1;-5) et D (5;-2)
Donc,
[tex]AB= \sqrt{ [(-4)-2]^{2} + (4-1)^{2} } = \sqrt{45} [/tex]
[tex]BC= \sqrt{ [(-1)-(-4)]^{2} + [(-5)-1^{2} } = \sqrt{45} [/tex]
[tex]CD= \sqrt{ [5-(-1)]^{2} + [(-2)-(-5)]^{2} } [/tex]
[tex]DA= \sqrt{ (2-5)^{2} + [4-(-2)]^{2} } = \sqrt{45} [/tex]
[tex]AC= \sqrt{ [(-1)-2]^{2} + [(-5)-4]^{2} } = \sqrt{90} [/tex]
[tex]BD= \sqrt{ [5-(-4)]^{2} + [(-2)-1)]^{2} } = \sqrt{90} [/tex]
On a que: [tex]AB=BC=CD=DA= \sqrt{45} [/tex]
Si un quadrilatère a 4 côtés de même longueur alors c’est un losange
Donc, ABCD est un losange
De plus
[tex]AC=BD= \sqrt{90} [/tex]
Si un losange a ses diagonales de même longueur alors c’est un carré
Donc, ABCD est un carré.
Soit I le centre du cercle circonscrit au carré ABCD
ABCD est un carré donc le centre du cercle circonscrit au
carré ABCD est le milieu de ses diagonales.
Donc, I est le milieu de [AC]
D’où
[tex] x_{I} = \frac{ x_{A} + x_{C} }{2} = \frac{2+(-1)}{2} =- \frac{1}{2} [/tex] ;
[tex] y_{I} = \frac{ y_{A} + y_{C} }{2} = \frac{4+(-5)}{2} =- \frac{1}{2}[/tex]
Alors
[tex]I(- \frac{1}{2} ; -\frac{1}{2} )[/tex]
Le rayon du cercle est
de : [tex]r= \frac{AC}{2}= \frac{ \sqrt{90} }{2} = \frac{ 3\sqrt{10} }{2} [/tex]
