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Boujire
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Bonsoir, j'aurais voulu que l'on m'aide à résoudre cet exercice:
1)soit n unentier naturel impair:
etudiez laparité de n²+3n et 2n²+5n
2)soit p un nombre premier tel que p >3
a- montrez qu'il existe un k tel que p=3k+1 ou p=3k+2
b- montrez que: 8p²+1 est divisible par 3
c- Est-ce que 8p²+1est premier ?justifier

Sagot :

1)soit n un entier naturel impair:
  étudiez la parité de n²+3n et 2n²+5n
n=2p+1
n²+3n=(2p+1)²+3(2p+1)
         =4p²+4p+1+6p+3
         =4p²+10p+4
         =2(2p²+5p+2)
         =2p'
donc n²+3n est pair

2n²+5n=2(2p+1)²+5(2p+1)
         =2(4p²+4p+1)+10p+5
         =8p²+18p+7
         =2(4p²+9p+3)+1
         =2p'+1
donc 2n²+3n est impair

2)soit p un nombre premier tel que p >3
a- montrez qu'il existe un k tel que p=3k+1 ou p=3k+2
la famille {3k;3k+1;3k+2 / k∈IN} est génératrice de IN
donc p=3k ou p=3k+1 ou p=3k+2
or p est premier donc p≠3k
donc il existe un entier k tel que p=3k+1 ou p=3k+2

b- montrez que: 8p²+1 est divisible par 3
* si p=3k+1 alors
8p²+1=8(3k+1)²+1
       =8(9k²+6k+1)+1
       =72k²+48k+9
       =3(24k²+16k+3)
       =3k'
donc 8p²+1 est multiple de 3

* si p=3k+2 alors
8p²+1=8(3k+2)²+1
       =8(9k²+12k+4)+1
       =72k²+96k+33
       =3(24k²+32k+11)
       =3k"
donc 8p²+1 est multiple de 3

c- Est-ce que 8p²+1est premier ?justifier
8p²+1 est multiple de 3
donc 8p²+1 n'est pas premier
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