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On considère la fonction f définie de R vers R définie par f(x)= |x-a|+|x-b|.
1°) Donner l'expression de f suivant la position de x par rapport à a et b.
2°) Donner le tableau de variation de f et de sa courbe représentative.
3°) Quel est le minimum de f sur R .
4°) En déduire que pour tout réel x : |x-a|+|x-b| ≥ b-a
Je suis complètement bloqué, je n'y arrive pas du tout, j'espère que vous sauriez m'aider.
Merci d'avance.

Sagot :

Laurance
il faudrait tout de même savoir si a est plus grand  ou plus petit  que  b 

je vais traiter  le cas  où  a est plus petit  que  b 
1°)
x  varie dans IR   il   peut donc être  :
soit   inférieur  à   a :  ( x  < a)
dans ce cas   x -a  et  x  - b  sont   négatifs      f(x) = -(x -a)  - (x - b) =  -2x +a+b
soit  entre  a  et   b   :   (  a <  x  <  b) 
dans ce cas   x  -a  est  positif  et   x  -b  est  négatif  f(x) = (x-a)-(x-b)=  b - a
soit  supérieur à b :  (   x >  b) 
dans  ce cas   x  - a   et   x  - b   sont   positifs   et   f(x )=  (x  -a)  + (x  -b) = 2x - a -b
2°)
la fonction f est  donc  décroissante  si  x <a   car  le coefficient  de  x  ( -2)   est négatif
la fonction f est constante  entre  a et  b  
la fonction f est  croissante   si  x >  b   car   2 >0 
3°)
le minimum  de f est   atteint   quand  x  est  entre  a et b  et  vaut  b  -a 
4°)
comme  b-a  est  le minimum   f(x)  est  supérieur  ( ou égal) à  b -a


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