Bjr , on va écrire ^2 pour "au carré"
et V pour "racine carrée"
n^2+4-n^2=4 supérieur à 0 donc
n^2+4 supérieur à n^2
ou n^2<n^2+4
(n^2+4)-(n+2)^2
=n^2+4-(n^2+4n+4)
=n^2+4-n^2-4n-4
=-4n <0
donc (n^2+4)-(n+2)^2 <0
donc (n^2+4) < (n+2)^2
Au final n^2<=n^2+4<=(n+2)^2
Toutes ces expressions sont positives donc on peut écrire:
Vn^2 <= V(n^2+4) <= V(n+2)^2 car la fonction racine carrée est croissante sur R+
donc Vn^2/Vn <= V(n^2+4)/Vn <= V(n+2)^2/Vn
donc V(n^2/n) <= Un <= V((n+2)^2/n))
donc Vn <= Un <=V(n^2+4n+4/n)
Vn tend vers +oo quand n tend vers +oo
V(n^2+4n+4/n) tend vers +oo quand n tend vers +oo
donc Un est encadrée par deux expressions qui tendent vers +oo
donc d'après le théorème des gendarmes limUn quand n tend vers +oo=+oo
