1)borne - ∞ la limite est celle de [tex] \frac{ x^{3} }{ x^{2} } =x [/tex] donc -∞
borne 1 gauche :la limite est celle de [tex] \frac{1}{ (x-1)^{2} } [/tex] donc +∞
borne 1droite : la même
on en déduit que x = 1 est asymptote verticale
borne +∞ la limite est celle de x donc + ∞
2) (x-1)² = x²- 2x + 1 entraîne x(x-1)² = x³ -2x² + x d'où
x³ = x(x-1)² + 2x² - x ;
d'autre part x² = (x-1)² + 2x -1 d'où
x³ = x(x-1)² +2(x-1)² + 2(2x-1) - x = x(x-1)² + 2(x-1)² + 3x -2 et en divisant par
(x-1)² on obtient bien le résultat demandé
la limite de [tex] \frac{3x-2}{( x-1)^{2} } [/tex] à l'infini est la même que la limite de
[tex] \frac{3x}{ x^{2} } = \frac{3}{x} [/tex]
et la limite de 3/x est 0 quand x tend vers l'infini donc y =x +2 est asymptote oblique à C en l'infini
3)yC = yD pour 3x -2 =0 d'où xA = 2/3 yA= 2/3 +2 = 8/3
A(2/3 ; 8/3)
f(x) = [tex] \frac{u}{v} [/tex] u =x³ ⇒ u' = 3x² v =(x-1)²⇒ v' = 2(x-1)
u' v - v' u = 3x²(x-1)² - 2(x-1)x³ = x²(x-1)( 3(x-1) -2x )
x²(x -1) ( x -3) et f '(x) = x²(x-1)(x-3) /( (x-1)² )²
f'(x) a le signe du produit (x-1)(x-3) tout le reste étant positif
f croit de - ∞ à 1 ; puis décroît de 1 à 3 ; puis croît de 3 à +∞
5)x0 = 2/3 f(2/3)= 8/3 f '(2/3)= 28 T : y=28( x-2/3) + 8/3
y=28x - 16
