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Sagot :
Bonjour Tatiana13020404
Figure en pièce jointe
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
[tex]AB^2=(3+1)^2+(4+2)^2=4^2+6^2=16+36=52\\\\\boxed{AB^2=52}[/tex]
[tex]AC^2=(2+1)^2+(1-2\sqrt{3}+2)^2=3^2+(3-2\sqrt{3})^2\\AC^2=9+(3^2-2\times3\times2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)\\AC^2=9+9-12\sqrt{3}+12[/tex]
[tex]\boxed{AC^2=30-12\sqrt{3}}[/tex]
[tex]BC^2=(2-3)^2+(1-2\sqrt{3}-4)^2=(-1)^2+(-3-2\sqrt{3})^2\\BC^2=1+[(-3)^2-2\times(-3)\times2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2]\\AB^2=1+9+12\sqrt{3}+12[/tex]
[tex]\boxed{AB^2=22+12\sqrt{3}}[/tex]
Or,
[tex]AB^2+AC^2=22+12\sqrt{3}+30-12\sqrt{3}\\AB^2+AC^2=52\\\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et [AB] est l'hpoténuse.
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en C.
2) Coordonnées de D, milieu de [AB]
[tex](x_D;y_D)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})=(\dfrac{-1+3}{2};\dfrac{-2+4}{2})=(1;1)\\\\\boxed{D(1;1)}[/tex]
3) a) Longueur DE.
[tex]DE=\sqrt{(1-1)^2+(1-\sqrt{13}-1)^2}=\sqrt{0+(-\sqrt{13})^2}\\DE=\sqrt{0+13}\\\\\boxed{DE=\sqrt{13}}[/tex]
b) Démontrer que le triangle ABE est rectangle.
On vient de montrer que [tex]DE=\sqrt{13} [/tex]
Or
[tex]AB^2=52\Longrightarrow AB=\sqrt{52}=\sqrt{4\times13}=2\sqrt{13}\\\\AB=2\sqrt{13}[/tex]
De plus, D est le milieu de [AB].
D'où [tex]\boxed{DA=DB=\sqrt{13}}[/tex]
Nous venons donc de montrer que DE = DA = DB.
On den déduit que les points A, B et E sont sur un cercle de centre D et de rayon [tex]\sqrt{13}[/tex].
Le triangle ABE est inscrit dans ce cercle et [AB] est le diamètre.
Par conséquent, ce triangle ABE est rectangle et [AB] est l'hypoténuse.
Le triangle ABE est donc rectangle en E.
4a) Coordonnées de F diamétralement opposé à C.
Si F est diamétralement opposé à C, le point D sera le milieu de [FC].
[tex](x_D;y_D)=(\dfrac{x_F+x_C}{2};\dfrac{y_F+y_C}{2})[/tex]
[tex](1;1)=(\dfrac{x_F+2}{2};\dfrac{y_F+1-2\sqrt{3}}{2})[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}\dfrac{x_F+2}{2}=1\\\dfrac{y_F+1-2\sqrt{3}}{2}=1\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x_F+2=2\\y_F+1-2\sqrt{3}=2\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x_F=0\\y_F=1+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\\\\boxed{F(0;1+2\sqrt{3})}[/tex]
b) Montrer que le quadrilatère AFBC est un rectangle.
Le triangle FAC est inscrit dans le cercle de diamètre [AC].
Ce triangle est donc rectangle en A.
Donc [tex]\widehat{FAC}=90^o[/tex]
Le triangle AFB est inscrit dans le cercle de diamètre [AB].
Ce triangle est donc rectangle en F.
Donc [tex]\widehat{AFB}=90^o[/tex]
Le triangle BCA est inscrit dans le cercle de diamètre [AB].
Ce triangle est donc rectangle en C.
Donc [tex]\widehat{BCA}=90^o[/tex]
D'où le quadrilatère AFBC possède 3 angles droits.
Son 4ème angle sera donc droit.
Puisque le quadrilatère ABFC possède 4 angles droits, AFBC est un rectangle.
Figure en pièce jointe
1) Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.
[tex]AB^2=(3+1)^2+(4+2)^2=4^2+6^2=16+36=52\\\\\boxed{AB^2=52}[/tex]
[tex]AC^2=(2+1)^2+(1-2\sqrt{3}+2)^2=3^2+(3-2\sqrt{3})^2\\AC^2=9+(3^2-2\times3\times2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2)\\AC^2=9+9-12\sqrt{3}+12[/tex]
[tex]\boxed{AC^2=30-12\sqrt{3}}[/tex]
[tex]BC^2=(2-3)^2+(1-2\sqrt{3}-4)^2=(-1)^2+(-3-2\sqrt{3})^2\\BC^2=1+[(-3)^2-2\times(-3)\times2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2]\\AB^2=1+9+12\sqrt{3}+12[/tex]
[tex]\boxed{AB^2=22+12\sqrt{3}}[/tex]
Or,
[tex]AB^2+AC^2=22+12\sqrt{3}+30-12\sqrt{3}\\AB^2+AC^2=52\\\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et [AB] est l'hpoténuse.
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle en C.
2) Coordonnées de D, milieu de [AB]
[tex](x_D;y_D)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})=(\dfrac{-1+3}{2};\dfrac{-2+4}{2})=(1;1)\\\\\boxed{D(1;1)}[/tex]
3) a) Longueur DE.
[tex]DE=\sqrt{(1-1)^2+(1-\sqrt{13}-1)^2}=\sqrt{0+(-\sqrt{13})^2}\\DE=\sqrt{0+13}\\\\\boxed{DE=\sqrt{13}}[/tex]
b) Démontrer que le triangle ABE est rectangle.
On vient de montrer que [tex]DE=\sqrt{13} [/tex]
Or
[tex]AB^2=52\Longrightarrow AB=\sqrt{52}=\sqrt{4\times13}=2\sqrt{13}\\\\AB=2\sqrt{13}[/tex]
De plus, D est le milieu de [AB].
D'où [tex]\boxed{DA=DB=\sqrt{13}}[/tex]
Nous venons donc de montrer que DE = DA = DB.
On den déduit que les points A, B et E sont sur un cercle de centre D et de rayon [tex]\sqrt{13}[/tex].
Le triangle ABE est inscrit dans ce cercle et [AB] est le diamètre.
Par conséquent, ce triangle ABE est rectangle et [AB] est l'hypoténuse.
Le triangle ABE est donc rectangle en E.
4a) Coordonnées de F diamétralement opposé à C.
Si F est diamétralement opposé à C, le point D sera le milieu de [FC].
[tex](x_D;y_D)=(\dfrac{x_F+x_C}{2};\dfrac{y_F+y_C}{2})[/tex]
[tex](1;1)=(\dfrac{x_F+2}{2};\dfrac{y_F+1-2\sqrt{3}}{2})[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}\dfrac{x_F+2}{2}=1\\\dfrac{y_F+1-2\sqrt{3}}{2}=1\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x_F+2=2\\y_F+1-2\sqrt{3}=2\end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x_F=0\\y_F=1+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\\\\\boxed{F(0;1+2\sqrt{3})}[/tex]
b) Montrer que le quadrilatère AFBC est un rectangle.
Le triangle FAC est inscrit dans le cercle de diamètre [AC].
Ce triangle est donc rectangle en A.
Donc [tex]\widehat{FAC}=90^o[/tex]
Le triangle AFB est inscrit dans le cercle de diamètre [AB].
Ce triangle est donc rectangle en F.
Donc [tex]\widehat{AFB}=90^o[/tex]
Le triangle BCA est inscrit dans le cercle de diamètre [AB].
Ce triangle est donc rectangle en C.
Donc [tex]\widehat{BCA}=90^o[/tex]
D'où le quadrilatère AFBC possède 3 angles droits.
Son 4ème angle sera donc droit.
Puisque le quadrilatère ABFC possède 4 angles droits, AFBC est un rectangle.
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