Sagot :
Bonjour Raphdu18
Partie A
1) Initialisation : Montrons que le propriété est vraie au rang n=0.
[tex]u_0=2\ \textgreater \ 1[/tex]
Donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n quel que soit n, et montrons qu'elle est encore vraie au rang n+1
Supposons que [tex]u_n\ \textgreater \ 1[/tex]
Montrons que [tex]u_{n+1}\ \textgreater \ 1[/tex]
En effet,
[tex]u{n+1}=\dfrac{1+3u_n}{3+u_n}\\\\u{n+1}=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n} [/tex]
[tex]u{n+1}=\dfrac{3+u_n}{3+u_n}+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}\\\\u{n+1}=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n} [/tex]
Or par hypothèse,
[tex]u_n\ \textgreater \ 1\Longrightarrow 2u_n\ \textgreater \ 2\Longrightarrow \boxed{2u_n-2\ \textgreater \ 0}\\\\u_n\ \textgreater \ 1\Longrightarrow 3+u_n\ \textgreater \ 4\ \textgreater \ 0\Longrightarrow \boxed{3+u_n\ \textgreater \ 0}[/tex]
D'où [tex]\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}\ \textgreater \ 0[/tex]
Par conséquent, [tex]u_{n+1}\ \textgreater \ 1[/tex]
Donc, puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, la propriété [tex]u_n\ \textgreater \ 1[/tex] est vraie pour tout entier naturel n.
[tex]2)a)\ u_{n+1}-u_n=\dfrac{1+3u_n}{3+u_n}-u_n\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{1+3u_n-3u_n-u_n^2}{3+u_n}[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{1-u_n^2}{3+u_n}\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}[/tex]
[tex]b)\ u_n\ \textgreater \ 1\Longrightarrow 1-u_n\ \textless \ 0\\\\u_n\ \textgreater \ 1\Longrightarrow 1+u_n\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ 3+u_n\ \textgreater \ 0[/tex]
D'où [tex]\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}\ \textless \ 0[/tex]
Par conséquent
[tex]u_{n+1}-u_n\ \textless \ 0\\\\u_{n+1}\ \textless \ u_n[/tex]
La suite (un) est donc une suite décroissante.
Puisque la suite (un) est décroissante et est bornée inférieurement par 1, cette suite (un) est donc convergente.
Partie B.
[tex]u_{n+1}=\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}[/tex]
1) i | 1 2 3
u | 0,800 1,077 0,976
2) Le tableau donné dans la partie 2 montre que les valeurs de [tex]u_n[/tex] pourraient faire un va-et-vient autour de la valeur 1, tout en se rapprochant de 1.
Cela permettrait de conjecturer que le limite de la suite (un) si n tend vers l'infini serait égale à 1.
[tex]3)a)\ v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}+1}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n}}{\dfrac{1+0,5u_n+0,5+u_n}{0,5+u_n}}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{1+0,5u_n+0,5+u_n}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{0,5(1-u_n)}{1,5(1+u_n)}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{0,5}{1,5}\times\dfrac{1-u_n}{1+u_n}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1-u_n}{1+u_n}[/tex]
[tex]v_{n+1}=-\dfrac{1}{3}\times\dfrac{u_n-1}{u_n+1}[/tex]
[tex]\boxed{v_{n+1}=-\dfrac{1}{3}\times v_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (vn) est une suite géométrique de raison -1/3 et dont le premier terme est [tex]v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+1}=\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}[/tex]
[tex]b)\ v_0=\dfrac{1}{3}\\\\\boxed{v_n=\dfrac{1}{3}\times(-\dfrac{1}{3})^n}[/tex]
4) a) Puisque quel que soit n, nous savons que [tex](-\dfrac{1}{3})^n\le 1[/tex],
nous en déduisons que
[tex]v_n=\dfrac{1}{3}\times(-\dfrac{1}{3})^n\le \dfrac{1}{3}\\\\\ \Longrightarrow \boxed{v_n\ne1}[/tex]
[tex]b)\ v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1}\\\\(u_n+1)v_n=u_n-1[/tex]
[tex]u_n\times v_n+v_n=u_n-1\\\\u_n-u_n\times v_n=1+v_n[/tex]
[tex]u_n\times 1-u_n\times v_n=1+v_n\\\\u_n(1-v_n)=1+v_n[/tex]
[tex]\\\\\boxed{u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}}[/tex]
[tex]c)\ v_n=\dfrac{1}{3}\times(-\dfrac{1}{3})^n\ \ et\ \ -1\ \textless \ -\dfrac{1}{3}\ \textless \ 1[/tex]
Donc [tex]\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=0[/tex]
On en déduit que
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1+v_n}{1-v_n}=\dfrac{1+0}{1-0}=1\\\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}[/tex]
Partie A
1) Initialisation : Montrons que le propriété est vraie au rang n=0.
[tex]u_0=2\ \textgreater \ 1[/tex]
Donc la propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang n quel que soit n, et montrons qu'elle est encore vraie au rang n+1
Supposons que [tex]u_n\ \textgreater \ 1[/tex]
Montrons que [tex]u_{n+1}\ \textgreater \ 1[/tex]
En effet,
[tex]u{n+1}=\dfrac{1+3u_n}{3+u_n}\\\\u{n+1}=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n} [/tex]
[tex]u{n+1}=\dfrac{3+u_n}{3+u_n}+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}\\\\u{n+1}=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n} [/tex]
Or par hypothèse,
[tex]u_n\ \textgreater \ 1\Longrightarrow 2u_n\ \textgreater \ 2\Longrightarrow \boxed{2u_n-2\ \textgreater \ 0}\\\\u_n\ \textgreater \ 1\Longrightarrow 3+u_n\ \textgreater \ 4\ \textgreater \ 0\Longrightarrow \boxed{3+u_n\ \textgreater \ 0}[/tex]
D'où [tex]\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}\ \textgreater \ 0[/tex]
Par conséquent, [tex]u_{n+1}\ \textgreater \ 1[/tex]
Donc, puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, la propriété [tex]u_n\ \textgreater \ 1[/tex] est vraie pour tout entier naturel n.
[tex]2)a)\ u_{n+1}-u_n=\dfrac{1+3u_n}{3+u_n}-u_n\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{1+3u_n-3u_n-u_n^2}{3+u_n}[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{1-u_n^2}{3+u_n}\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}[/tex]
[tex]b)\ u_n\ \textgreater \ 1\Longrightarrow 1-u_n\ \textless \ 0\\\\u_n\ \textgreater \ 1\Longrightarrow 1+u_n\ \textgreater \ 0\ \ et\ \ 3+u_n\ \textgreater \ 0[/tex]
D'où [tex]\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}\ \textless \ 0[/tex]
Par conséquent
[tex]u_{n+1}-u_n\ \textless \ 0\\\\u_{n+1}\ \textless \ u_n[/tex]
La suite (un) est donc une suite décroissante.
Puisque la suite (un) est décroissante et est bornée inférieurement par 1, cette suite (un) est donc convergente.
Partie B.
[tex]u_{n+1}=\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}[/tex]
1) i | 1 2 3
u | 0,800 1,077 0,976
2) Le tableau donné dans la partie 2 montre que les valeurs de [tex]u_n[/tex] pourraient faire un va-et-vient autour de la valeur 1, tout en se rapprochant de 1.
Cela permettrait de conjecturer que le limite de la suite (un) si n tend vers l'infini serait égale à 1.
[tex]3)a)\ v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}\\\\\\v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}+1}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n}}{\dfrac{1+0,5u_n+0,5+u_n}{0,5+u_n}}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{1+0,5u_n+0,5+u_n}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{0,5(1-u_n)}{1,5(1+u_n)}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{0,5}{1,5}\times\dfrac{1-u_n}{1+u_n}[/tex]
[tex]v_{n+1}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1-u_n}{1+u_n}[/tex]
[tex]v_{n+1}=-\dfrac{1}{3}\times\dfrac{u_n-1}{u_n+1}[/tex]
[tex]\boxed{v_{n+1}=-\dfrac{1}{3}\times v_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (vn) est une suite géométrique de raison -1/3 et dont le premier terme est [tex]v_0=\dfrac{u_0-1}{u_0+1}=\dfrac{2-1}{2+1}=\dfrac{1}{3}[/tex]
[tex]b)\ v_0=\dfrac{1}{3}\\\\\boxed{v_n=\dfrac{1}{3}\times(-\dfrac{1}{3})^n}[/tex]
4) a) Puisque quel que soit n, nous savons que [tex](-\dfrac{1}{3})^n\le 1[/tex],
nous en déduisons que
[tex]v_n=\dfrac{1}{3}\times(-\dfrac{1}{3})^n\le \dfrac{1}{3}\\\\\ \Longrightarrow \boxed{v_n\ne1}[/tex]
[tex]b)\ v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1}\\\\(u_n+1)v_n=u_n-1[/tex]
[tex]u_n\times v_n+v_n=u_n-1\\\\u_n-u_n\times v_n=1+v_n[/tex]
[tex]u_n\times 1-u_n\times v_n=1+v_n\\\\u_n(1-v_n)=1+v_n[/tex]
[tex]\\\\\boxed{u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}}[/tex]
[tex]c)\ v_n=\dfrac{1}{3}\times(-\dfrac{1}{3})^n\ \ et\ \ -1\ \textless \ -\dfrac{1}{3}\ \textless \ 1[/tex]
Donc [tex]\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=0[/tex]
On en déduit que
[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1+v_n}{1-v_n}=\dfrac{1+0}{1-0}=1\\\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=1}[/tex]
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