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Àfààf
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salut
j'ai un petit problème en cet exercice:
x appartient à l'ensemble N , montrer que (3^2n) + (2^6n+5) = 11k

Sagot :

Laurance
voyons  pour  n = 1

3² = 9
2^11 = 2048       9+2048 = 2057 = 11*187  c'est donc vrai  pour n =1 

on va essayer de montrer que si  c'est vrai  pour n c'est vrai pour  n+1 
donc  si
3^(2n)  = 11k  -  2^ (6n+5) 
alors
3^(2n+2) = 11p  - 2^(6n + 6 +5)  =  11 p - 2^(6n+11)

or  3 ^(2n+2) = 3^(2n) * 3^2  =   99k - 9*2^(6n+5) 
2^11 = 2^5 * 2^6
2^6 = 64   et  -9 = -64 + 55
3^(2n+2) =  99k  + ( -64 +55) *2^(6n+5) 
= 99k  -(2^6)*2^(6n+5) +55*2^(6n+5)
= 99k - 2^(6n+11) + 55*2^(6n+5)
on en déduit que  

3^(2n+2)  = 11[  9k  + 5*2^(6n+5)]  - 2^(6n+11) 
p = 9k + 5*2^(6n+5)
fin de la démonstration  par récurrence


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