111 = 3* 37
supposons que 10^n -1 soit multiple de 9
alors 10^n -1 = 9k où k est un nombre entier et alors 10^n = 9k +1
10(10^n) = 90k + 10 donc 10(10^n) -1 = 90k +9
ceci montre que si 10^n -1 est un multiple de 9 alors
10^(n+1) -1 est aussi multiple de 9
or pour n=1 10 ^1 -1 = 9 est bien un multiple de 9
par récurrence : 10^n -1 est toujours multiple de 9
conclusion (10^n -1) /9 est un nombre entier naturel
(a-b)(a² +ab + b²) = a^3 + a²b +ab² - a²b - ab² - b^3 = a^3 - b^3
posons a = 10^n b =1 a^3 = 10^(3n) b^3 = 1^3 = 1
d'où (10^(3n) - 1 )= (10^n - 1)( 10^(2n) +10^n + 1)
ceci prouve que 10^(3n) - 1 est divisible par 10^n - 1
10^(3) -1 = 1000 -1 = 999 = 9 *u(3)
10^1 -1 = 9 = 9*u(1)
10^6 -1 = 1 000 000 -1 = 999 999 = 9u(6)
10^2 -1 = 99 = 9u(2)
donc généralement 10^(3n) - 1 = 9u(3n ) et 10^n -1 = 9u(n)
comme 10^(3n) -1 est divisible par 10^n -1 ceci revient à dire que
9*u(3n) et divisible par 9*u(n)
d'où u(3n) est divisible par u(n)
dans 10^(2n) + 10 ^(n) + 1 il y a trois 1 et les autres chiffres sont des zéros
n=1 100 +10 +1 = 111
n=2 10000 +100 +1 = 10101 etc ..
en tous cas la somme des chiffres est 3
donc ce nombre est divisible par 3 : 10^(2n) + 10^(n) + 1 = 3k
de ( 10^(3n) - 1) = (10^n - 1)(10^(2n) + 10^n + 1 )
on déduit
9* u(3n) = 9*u(n) * 3 k puis u(3n) = u(n) * 3 k
montre que u(3n) est divisible par 3u(n)
on sait que u(1) a 3 chiffres 1 et qu'il est divisible par 3
u(3) = u(1) * 3k
u(3²) = u(3*3) est donc divisible par 3u(3) donc par 9u(1)
or u(9) a 9 chiffres 1 et est bien divisible par 9
u(3^3) = u(3²3) est donc divisible par 3u(9) donc par 27u(1)
u(27) a 27 chiffres 1 et est divisible par 27
etc...
il y en a une infinité
