2) c'est un peu long mais j'ai rien trouvé de mieux
première parenthèse : en réduisant au même dénominateur qui est
(c-a)(a-b)(b-c) on obtient au numérateur
a(c-a)(a-b) + b(b-c)(a-b) + c(b-c)(c-a) =
a(ac +ab - bc -a²) + b(ab +bc -b² -ac) +c(bc +ac - ab - c²) =
a²c +a²b +ab² +b²c +bc² +ac² - 3abc - a^3 -b^3 -c^3 =
a²(b+c) + b²(a+c) +c²(a+b) - 3abc - 3abc d'après 1)
=a²(-a) +b²(-b) +c²(-c) - 6abc
= -9abc
première parenthèse
[tex] \frac{-9abc}{(c-a)(a-b)(b-c)} [/tex]
deuxième parenthèse :
on peut l'ecrire
[tex] \frac{b}{a} - \frac{a}{b} + \frac{a}{c} - \frac{c}{a} + \frac{c}{b} - \frac{b}{c} [/tex]
ou
(b² -a²) /(ab) + (a² -c² ) /(ac) + (c² -b²) / (bc)
=(b-a)(b+a) /(ab) + (a-c)(a+c) /(ac) + (c-b)(b+c) / (bc)
= (b-a)(-c) / (ab) + (a-c)(-b) /(ac) + (c-b)( -a) / (bc)
en réduisant au même dénominateur abc
= [ (b-a)(-c²) + (a-c)(-b²) +(c-b)(-a²) ] / (abc)
= [ - bc² + ac² -ab² + b²c -a²c + a²b ] / (abc)
or (c-a)(a-b) = ca - cb -a² + ab
(c-a)(a-b)(b-c) =(ca - cb -a² + ab) (b-c) = cab -c²a -cb²+c²b -a²b+a²c+ab²-abc
= - [ -bc² +ac² -ab² + b²c -a²c +a²b ]
d'où
deuxième parenthèse
[tex] \frac{-(a-b)(c-a)(b-c)}{abc} [/tex]
conclusion
le produit des deux parenthèses est égal à 9
