1)our les limites en l'infini on prend la limite de : x² /(2x) =x/2
ce qui donne limite de f(x)= + l'inf qd x tend vers + l'inf et - l'inf qd x tend vers - l'inf
en -3/2 la limite dépend si x est à gauche ou à droite pour le signe de 2x+3
x² -5 = (-3/2)² -5 est négatif
si x est < à -3/2 la limite de 2x+3 est 0- et la limite de f(x) est +inf
si x > - 3/2 la limite de 2x+3 est 0+ et la limite de f(x) est donc -inf
on déduit une asymptote verticale x = -3/2
2)il faut écrire x² -5 sous la forme x² -5 = (2x+3)(ax+b) + c
forcément a =0,5 car 2x(0,x) = x² et il n'y a pas de x dans x² -5 donc
2b + 3a = 0 soit 2b = -3a = -1,5 b = -0,75
d'où x² - 5 = (2x+3)(0,5x - 0,75) +c
3(-0,75) = -2,25 pour avoir -5 il faut ajouter -2,75
conclusion a = 0,5 b = -0,75 c = -2,75
f(x) - (ax+b) = c /(2x+3) les limites de f(x) -(ax+b) à +inf et -inf sont donc égales à 0 car 2x+3 a pour limite l'infini dans les 2 cas
conclusion la droite d'équation y =ax + b = 0,5x - 0,75 est une asymptote oblique à la courbe de f
exercice 2
f(x)= 1/2( x + 9 /x) f '(x) = 1/2 ( 1 - 9/x² )
signe de f'(x)
si x² < 9 ( 0<x<3) alors 9/x² >1 et 1 - 9/x² < 0 donc f'(x) < 0
et f est décroissante
sinon ; si x² > 9 ( x > 3) f'(x) > 0 et f est croissante
f(3) est donc le minimum de f(x) f(3)=3
comme u(n+1) = f ( u(n) ) et comme le minimum de f est f(3)=3
on peut dire que la suite est minorée par 3
u(n+1) - u(n) = 1/2 ( u(n) + 9 / u(n) - 2u(n) ) = 1/2 ( 9/u(n) - u(n) )
= 1/2 ( 9 - (u(n)) ² ) / ( u(n) )
ce qui est négatif car u(n) >3 donc ( u(n) )² > 9
donc la suite est décroissante
une suite décroissante et minorée converge
donc la suite u converge
sa limite L vérifie L = f(L ) = 1/2( L + 9/L )
ou 2L = L + 9/L
L = 9 / L L² = 9 donc L= 3 ( car la suite est positive)
2) il suffit de reprendre toute la démonstration en remplaçant 9 par A
