2)a par récurrence
1≤u0≤2 vrai car u0 = 2 la fonction f(x)= 5 - 16/ (x +3) est croissante car sa
dérivée est positive
hérédité
si 1≤un≤2 alors , comme f est croissante f(1)≤f(un)≤f(2)
or f(un) = un+1
f(1)= 1 et f(2)= 5 - 3,2 = 1,8 <2 l'hérédité est donc assurée
3) calcule ( un+1 -un)(un +3 ) =
( 5 - 16/(un+3) - un)( un +3 )=
5un + 15 - 16 - un(un +3) =
5un - 1 - un² - 3un =
2un - 1 -un² = - (un -1)² on en déduit donc que
un+1 - un = -(un - 1)² / ( un + 3 ) ce qui est un nombre toujour négatif
un+1 - un <0 la suite est décroissante
c)elle converge car elle est décroissante et minorée par 1 : théorème
d)la limite L de un est aussi la limite L de un+1
donc L - L = - ( L -1)² / ( L +3)
0 = -( L -1)² / ( L + 3)
L = 1
