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Bonjour, j'ai un devoir a faire pour lundi qui est tres important et je ne comprend oas merci de m'aider

On cherche à résoudre l'équation définie dans R par: R (x)=x^4-10x^3+35x^2-50x+24=0
a) Soit un réel m, déterminer les réels a et b tels que: S (x)= (ax^2+bx+m) ^2-R(x) soit un trinôme du second degré dépendant du paramètre m.
b) Prouver qu'il existe au moins une valeur de m telle que S (x) soit le carré d'un polynôme du 1erdegré.
c)En déduire une factorisation de R (x) en un produit de trinômes du 2eme degré.Merci encore a vous. J'ai déjà le a merci a vous c'est très important.

Sagot :

Bonjour Theboss2816

[tex]R(x)=x^4-10x^3+35x-5x+24=0\\\\a)\ S(x)=(ax^2+bx+c)^2-x^4+10x^3-35x^2+50x-24[/tex]

[tex]S(x)=a^2x^4+b^2x^2+m^2+2abx^3+2amx^2+2bmx\\-x^4+10x^3-35x^2+50x-24[/tex]

[tex]S(x)=(a^2-1)x^4+(2ab+10)x^3+(b^2+2am-35)x^2\\+(2bm+50)x+m^2-24[/tex]

S(x) sera un trinôme du second degré si [tex]a^2-1=0\ \ et\ \ 2ab+10=0[/tex]

[tex]a^2-1=0\Longrightarrow a=1\ ou\ a=-1[/tex]

Si a = 1, alors 2b + 10 = 0
                      b = -5

Si a = -1, alors -2b + 10 = 0
                      b = 5

Par conséquent,
a =1 et b = -5
ou
a = -1 et b = 5.

b) Prenons a = 1 et b = -5.

[tex]S(x)=(2m-10)x^2+(-10m+50)x+m^2-24[/tex]

S(x) sera le carré d'un polynôme du 1er degré si son discriminant est nul.

[tex]\Delta=0\\(-10m+50)^2-4(2m-10)(m^2-24)=0\\-8 m^3+140 m^2-808 m+1540 = 0\\-4 (m-7) (m-5) (2 m-11) = 0[/tex]

Donc m = 5 ou m = 7 ou m = 11/2.

Si m = 7, alors [tex]S(x)=4x^2-20x+25[/tex]

[tex]\boxed{S(x)x=(2x-5)^2}[/tex]

[tex]c)\ R(x)=(x^2-5x+7)^2-(2x-5)^2\\R(x)=(x^2-5x+7+2x-5)(x^2-5x+7-2x+5)\\\boxed{R(x)=(x^2-3x+2)(x^2-7x+12)}[/tex]

d) Racines de R(x).

[tex](x^2-3x+2)(x^2-7x+12)=0\\x^2-3x+2=0\ \ ou\ \ x^2-7x+12=0\\(x-1)(x-2)=0\ \ ou\ \ (x-3)(x-4)=0[/tex]

[tex]x-1=0\ \ ou\ \ x-2=0\ \ ou\ \ x-3=0\ \ ou\ \ x-4=0\\\boxed{x=1\ \ ou\ \ x=2\ \ ou\ \ x=3\ \ ou\ \ x=4}[/tex]

Par conséquent les racines de R(x) sont : 1 ; 2 ; 3  et  4.
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