Sagot :
Bonjour Agathe2027
[tex]I)a)\ P(x)=(x^2-1)^2-(4x+5)^2\\P(x)=(x^2-1+4x+5)(x^2-1-4x-5)\\P(x)=(x^2+4x+4)(x^2-4x-6)[/tex]
[tex]b)\ P(x)=0\\(x^2+4x+4)(x^2-4x-6)=0\\(x+2)^2(x^2-4x-6)=0\\(x+2)^2=0\ \ ou\ \ x^2-4x-6=0[/tex]
[tex]\\x+2=0\Longrightarrow x=-2\\x^2-4x-6=0\\\Delta=(-4)^2-4\times1\times(-6)=16+24=40[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{4-\sqrt{40}}{2}=\dfrac{4-2\sqrt{10}}{2}=\dfrac{2(2-\sqrt{10})}{2}=2-\sqrt{10}\\\\x_2=\dfrac{4+\sqrt{40}}{2}=\dfrac{4+2\sqrt{10}}{2}=\dfrac{2(2+\sqrt{10})}{2}=2+\sqrt{10}[/tex]
Par conséquent,
l'ensemble des solutions de l'équation P(x)=0 sont [tex]\boxed{S=\{-2\ ;\ 2-\sqrt{10}\ ;\ 2+\sqrt{10}\}}[/tex]
[tex]II)\ Q(x)=x^4-18x^2-40x-24\\\\a)\ x^4-18x^2-40x-24=(x^2-m)^2-(ax^2+bx+c)[/tex]
[tex]x^4-18x^2-40x-24=x^4-2mx^2+m^2-ax^2-bx-c\\x^4-18x^2-40x-24=x^4-(2m+a)x^2-bx+m^2-c[/tex]
Par identification des coefficients des puissances de x,
[tex]\left\{\begin{matrix}-(2m+a)=-18\\-b=-40\\m^2-c=-24 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\boxed{\left\{\begin{matrix}a=18-2m\\b=40\\c=m^2+24 \end{matrix}\right.}[/tex]
x^4-18x^2-40x-24=(x^2-m)^2-(ax^2+bx+c)[/tex]
b) f(x) = (18-2m)x^2+40x+24+m² sera le carré d'un polynôme du 1er degré si son discriminant est nul.
[tex]\Delta=0\\40^2-4(18-2m)(24+m^2)=0\\1600-4(18-2m)(24+m^2)=0\\8 m^3-72 m^2+192 m-128 = 0[/tex]
[tex]8(m-1) (m-4)^2 = 0\\m-1=0\ \ ou\ \ (m-4)^2=0\\\boxed{m=1\ \ ou\ \ m=4}[/tex]
Si m=1, alors [tex]f(x)=16x^2+40x+25[/tex]
[tex]\boxed{f(x)=(4x+5)^2}[/tex]
c) Racines de Q(x)
[tex]Q(x)=0\\(x^2-1)^2-(4x+5)^2=0\\\boxed{x=-2\ ou\ x=2-\sqrt{10}\ \ ou\ x=2+\sqrt{10}}\ \ (voir\ partie\ I)[/tex]
Par conséquent,
les racines de Q(x) sont [tex]\boxed{-2\ ;\ 2-\sqrt{10}\ \ et\ x=2+\sqrt{10}}[/tex]
[tex]III)\ R(x)=x^4-10x^3+35x-5x+24=0\\\\a)\ S(x)=(ax^2+bx+c)^2-x^4+10x^3-35x^2+50x-24[/tex]
[tex]S(x)=a^2x^4+b^2x^2+m^2+2abx^3+2amx^2+2bmx\\-x^4+10x^3-35x^2+50x-24[/tex]
[tex]S(x)=(a^2-1)x^4+(2ab+10)x^3+(b^2+2am-35)x^2\\+(2bm+50)x+m^2-24[/tex]
S(x) sera un trinôme du second degré si [tex]a^2-1=0\ \ et\ \ 2ab+10=0[/tex]
[tex]a^2-1=0\Longrightarrow a=1\ ou\ a=-1[/tex]
Si a = 1, alors 2b + 10 = 0
b = -5
Si a = -1, alors -2b + 10 = 0
b = 5
Par conséquent,
a =1 et b = -5
ou
a = -1 et b = 5.
b) Prenons a = 1 et b = -5.
[tex]S(x)=(2m-10)x^2+(-10m+50)x+m^2-24[/tex]
S(x) sera le carré d'un polynôme du 1er degré si son discriminant est nul.
[tex]\Delta=0\\(-10m+50)^2-4(2m-10)(m^2-24)=0\\-8 m^3+140 m^2-808 m+1540 = 0\\-4 (m-7) (m-5) (2 m-11) = 0[/tex]
Donc m = 5 ou m = 7 ou m = 11/2.
Si m = 7, alors [tex]S(x)=4x^2-20x+25[/tex]
[tex]\boxed{S(x)x=(2x-5)^2}[/tex]
[tex]c)\ R(x)=(x^2-5x+7)^2-(2x-5)^2\\R(x)=(x^2-5x+7+2x-5)(x^2-5x+7-2x+5)\\\boxed{R(x)=(x^2-3x+2)(x^2-7x+12)}[/tex]
d) Racines de R(x).
[tex](x^2-3x+2)(x^2-7x+12)=0\\x^2-3x+2=0\ \ ou\ \ x^2-7x+12=0\\(x-1)(x-2)=0\ \ ou\ \ (x-3)(x-4)=0[/tex]
[tex]x-1=0\ \ ou\ \ x-2=0\ \ ou\ \ x-3=0\ \ ou\ \ x-4=0\\\boxed{x=1\ \ ou\ \ x=2\ \ ou\ \ x=3\ \ ou\ \ x=4}[/tex]
Par conséquent les racines de R(x) sont : 1 ; 2 ; 3 et 4.
[tex]I)a)\ P(x)=(x^2-1)^2-(4x+5)^2\\P(x)=(x^2-1+4x+5)(x^2-1-4x-5)\\P(x)=(x^2+4x+4)(x^2-4x-6)[/tex]
[tex]b)\ P(x)=0\\(x^2+4x+4)(x^2-4x-6)=0\\(x+2)^2(x^2-4x-6)=0\\(x+2)^2=0\ \ ou\ \ x^2-4x-6=0[/tex]
[tex]\\x+2=0\Longrightarrow x=-2\\x^2-4x-6=0\\\Delta=(-4)^2-4\times1\times(-6)=16+24=40[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{4-\sqrt{40}}{2}=\dfrac{4-2\sqrt{10}}{2}=\dfrac{2(2-\sqrt{10})}{2}=2-\sqrt{10}\\\\x_2=\dfrac{4+\sqrt{40}}{2}=\dfrac{4+2\sqrt{10}}{2}=\dfrac{2(2+\sqrt{10})}{2}=2+\sqrt{10}[/tex]
Par conséquent,
l'ensemble des solutions de l'équation P(x)=0 sont [tex]\boxed{S=\{-2\ ;\ 2-\sqrt{10}\ ;\ 2+\sqrt{10}\}}[/tex]
[tex]II)\ Q(x)=x^4-18x^2-40x-24\\\\a)\ x^4-18x^2-40x-24=(x^2-m)^2-(ax^2+bx+c)[/tex]
[tex]x^4-18x^2-40x-24=x^4-2mx^2+m^2-ax^2-bx-c\\x^4-18x^2-40x-24=x^4-(2m+a)x^2-bx+m^2-c[/tex]
Par identification des coefficients des puissances de x,
[tex]\left\{\begin{matrix}-(2m+a)=-18\\-b=-40\\m^2-c=-24 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\boxed{\left\{\begin{matrix}a=18-2m\\b=40\\c=m^2+24 \end{matrix}\right.}[/tex]
x^4-18x^2-40x-24=(x^2-m)^2-(ax^2+bx+c)[/tex]
b) f(x) = (18-2m)x^2+40x+24+m² sera le carré d'un polynôme du 1er degré si son discriminant est nul.
[tex]\Delta=0\\40^2-4(18-2m)(24+m^2)=0\\1600-4(18-2m)(24+m^2)=0\\8 m^3-72 m^2+192 m-128 = 0[/tex]
[tex]8(m-1) (m-4)^2 = 0\\m-1=0\ \ ou\ \ (m-4)^2=0\\\boxed{m=1\ \ ou\ \ m=4}[/tex]
Si m=1, alors [tex]f(x)=16x^2+40x+25[/tex]
[tex]\boxed{f(x)=(4x+5)^2}[/tex]
c) Racines de Q(x)
[tex]Q(x)=0\\(x^2-1)^2-(4x+5)^2=0\\\boxed{x=-2\ ou\ x=2-\sqrt{10}\ \ ou\ x=2+\sqrt{10}}\ \ (voir\ partie\ I)[/tex]
Par conséquent,
les racines de Q(x) sont [tex]\boxed{-2\ ;\ 2-\sqrt{10}\ \ et\ x=2+\sqrt{10}}[/tex]
[tex]III)\ R(x)=x^4-10x^3+35x-5x+24=0\\\\a)\ S(x)=(ax^2+bx+c)^2-x^4+10x^3-35x^2+50x-24[/tex]
[tex]S(x)=a^2x^4+b^2x^2+m^2+2abx^3+2amx^2+2bmx\\-x^4+10x^3-35x^2+50x-24[/tex]
[tex]S(x)=(a^2-1)x^4+(2ab+10)x^3+(b^2+2am-35)x^2\\+(2bm+50)x+m^2-24[/tex]
S(x) sera un trinôme du second degré si [tex]a^2-1=0\ \ et\ \ 2ab+10=0[/tex]
[tex]a^2-1=0\Longrightarrow a=1\ ou\ a=-1[/tex]
Si a = 1, alors 2b + 10 = 0
b = -5
Si a = -1, alors -2b + 10 = 0
b = 5
Par conséquent,
a =1 et b = -5
ou
a = -1 et b = 5.
b) Prenons a = 1 et b = -5.
[tex]S(x)=(2m-10)x^2+(-10m+50)x+m^2-24[/tex]
S(x) sera le carré d'un polynôme du 1er degré si son discriminant est nul.
[tex]\Delta=0\\(-10m+50)^2-4(2m-10)(m^2-24)=0\\-8 m^3+140 m^2-808 m+1540 = 0\\-4 (m-7) (m-5) (2 m-11) = 0[/tex]
Donc m = 5 ou m = 7 ou m = 11/2.
Si m = 7, alors [tex]S(x)=4x^2-20x+25[/tex]
[tex]\boxed{S(x)x=(2x-5)^2}[/tex]
[tex]c)\ R(x)=(x^2-5x+7)^2-(2x-5)^2\\R(x)=(x^2-5x+7+2x-5)(x^2-5x+7-2x+5)\\\boxed{R(x)=(x^2-3x+2)(x^2-7x+12)}[/tex]
d) Racines de R(x).
[tex](x^2-3x+2)(x^2-7x+12)=0\\x^2-3x+2=0\ \ ou\ \ x^2-7x+12=0\\(x-1)(x-2)=0\ \ ou\ \ (x-3)(x-4)=0[/tex]
[tex]x-1=0\ \ ou\ \ x-2=0\ \ ou\ \ x-3=0\ \ ou\ \ x-4=0\\\boxed{x=1\ \ ou\ \ x=2\ \ ou\ \ x=3\ \ ou\ \ x=4}[/tex]
Par conséquent les racines de R(x) sont : 1 ; 2 ; 3 et 4.
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