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Bonjour,il s'agit d'un dm à rendre et j'ai du rater une subtilité dans l'énoncé , je ne comprend pas la question 2) au niveau de la justification d'alpha.
Voici l'énoncé si vous pouviez m'aider s'il vous plait :) :
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère la parobole P d'équation y=x² et le point A(1;0).
L'objet de l'exercice est de déterminer le point M de la courbe P tel que la distance AM soit minimale. Pour tout réel x, on pose f(x)=AM² où M est le point de P d'abscisse x.

1_Déterminer f(x)
2_Etudier les variation de la fonction dérivée f' sur R. En déduire que l'équation f'(x)=0 admet une unique solution alpha sur R. Justifier que 0< alpha <1. Puis dresser le tableau de signes de f'(x), puis le tableau de variations de f.
3_Conclure sur le problème posé.

Merci d'avance :)

Sagot :

Dans le plan muni d'un repère orthonormé,
on considère la parabole P d'équation y=x² et le point A(1;0).
M ∈ (P) donc M(x;x²)

f(x)=AM²
     =(x-1)²+(x²-0)
    =2x²-2x+1

f'(x)=4x-2

f'(x)=0 donne x=1/2
f'(x)>0 donne x>1/2
f'(x)<0 donne x<1/2

donc f est décroissante sur ]-∞;1/2] et croissante sur [1/2;+∞[
donc f admet un minimum en x=1/2
ce minimum est f(1/2)=1/2

conclusion AM est minimale si x=1/2
la distance minimale vaut √(1/2)=√2/2
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