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bonsoir je suis actuellement en terminale S et je m'entraine pour mon ds qui sera ce mardi.je n'arrive pas a resoudre ces deux exercices, merci de bien
vouloir m'aider :)
je reposte ma question puisqu'il n'y a eu aucun aide..

Résoudre dans C les équations suivantes :
1. i z = 1+i
2. z2 −zz +1= 0 (on pourra poser z = x +i y, avec x et y réels)
3. z4 +5z2 +4 = 0 ¡on pourra poser Z = z2¢
EXERCICE 2
Soit le polynôme P défini pour tout z ∈ C par P(z) = z3 −2(1+i )z2 +2(1+2i )z −4i .
1. Soit y un réel et z = i y un imaginaire pur. Démontrer que :
z est solution de l’équation P(z)= 0⇐⇒½−y3 +2y2 +2y −4 = 0
2y2 −4y = 0
(S).
2. Résoudre l’équation 2y2 −4y = 0, puis le système (S).
3. En déduire que l’équation P(z)= 0 admet une unique solution imaginaire pure et la déterminer.
4. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout z ∈ C, P(z)= ¡z −2i ¢¡az2 +bz +c¢.
5. En déduire les solutions dans C de l’équation P(z)= 0.
6. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O; ~u;~v ). On appelle A, B et C les points dont les affixes
sont les solutions de l’équation P(z) = 0.
Déterminer la nature du quadrilatère non croisé dont les sommets sont les points A, B, C et O.

Sagot :

Laurance
1)z = 1/i   +i/i  =  -i  +  1      car   1 /i  =  -  i
2)zzbarre ??
si oui
z = x + iy    z² = x² - y²  + 2ixy     zz barre   =x² +  y² 
x²  -y²   + 2ixy -  x²  -y²  +  1 = 0
- 2 y²    +    1    +   2i xy  =  0                   1   -2y²   =  0   et   xy =  0 

x=0                et     y² = 1/2           z  =  irac( 1/2)     ou    z  =  - irac(1/2)
3)Z=z²   ⇒ Z²  +  5Z   +  4  =0       ⇒     (Z   +1  )(Z   +4 )=  0      ⇒
Z =  -1          ou   Z =  -4         ⇒         z²  = -1   ou   z²  =  -4         ⇒
z= i  ou z= -i   ou   z =  2i   ou  z =  -2i               
P(iy)= i^3 y^3 -2i(iy)^2 - 2(iy)^2 + 2(iy)    +  4i(iy)    - 4i
=  -iy^3    + 2i y ²   + 2 y²   -  4y    + 2 iy   -    4 i 
= ( 2 y²  - 4y)    +  i ( - y^3  +  2 y²  + 2 y  - 4 )
=         0        + i(0)
2y² -4 y =0              et              - y^3  +  2 y²  +2y    - 4 = 0
2y(y-2)= 0              et             - y^3   +  2 y² +2y    -4  =0 
y = 0        non    car        -0^3  + 2*0² + 2*0   - 4 =  -4
y=2           oui        car     -2^3  +2*2²  +2*2   -4  =   - 8 +8  +4 -4  = 0
P(iy)= 0  entraîne   y = 2            P(2i) = 0   2 i est la solution imaginaire pure
P(z)= az^3   + bz²   + cz  - 2iaz²  - 2biz   -  2ci 
d'où   a = 1
b -2ai=  -2 - 2i                b = 2ai-2 -2i  =  -2 
-2ci  = -4i           = 2 i
P(z) =(z - 2i)(z²   - 2z   +   2)    delta = 4  -8 = -4 = (2i)²
solutions  z1 = ( 2 + 2i)/2  = 1 +i             z2=  (2 -2i) /2 = 1 - i
P(z)=  (z  -2i)( z  - 1 - i)(z    -1  + i )
P(z)=0  a  3 solutions
2i
1+i
1-i
 A( 0;2)    B( 1 ;1 )   C(  1;  -1 )    O ( 0;  0) 
vecteur AB   a  pour coordonnées   (  1 ;  -1)
             OC                                      ( 1 ;  -1)               vecteurs égaux
  d'où    ABCO   parallèlogramme
              






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