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La suite (un) est définie par u0=0 et un+1 =(1/2)√(un²+12) pour tout entier naturel n.

1- Écrire un algorithme manuel, en langage courant, qui permette de calculer et d'afficher les premiers termes de la suite (un).
2- Conjecturer, à l'aide de cet algorithme, le comportement de (un) quand n tend vers +l'infini.
3- Montrer que la suite (vn) définie pour tout n de N par vn=un²-4 est géométrique.
4- Exprimer vn en fonction de n et déterminer la limite de (vn)
5- Exprimer un en fonction de vn et en déduire la limite de la suite (vn).

Merci beaucoup à ceux qui me répondront.

Sagot :

Caylus
Bonsoir,


U(0)=0
U(n+1)=1/4*√(U²(n)+12)
V(n)=U²(n)-4
1. voir fichier joint
2. U(n)->2 si n->oo
3.V(n)=U²(n)-4
V(n+1)=U²(n+1)-4
=1/4(U²(n)+12)-4
=1/4U²(n)+3-4
=1/4U²(n)-1
=1/4(U²(n)-4)
=1/4*V(n)
4.V(0)=0-4=-4
V(1)=1/4V(0)
V(2)=(1/4)^2*V(0)
V(3)=(1/4)^3*V(0)
...
V(n)=(1/4)^n*(-4)
lim V(n)=(1/oo)*(-4)=-0 si n->oo
5.
U²(n)=V(n)+4=4(1-1/4^n)
U(n)=2(√(1-1/4^n)
lim U(n)=2*√(1-1/oo)=2*√1=2


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