Je te résous le cas général.
Si x est l'abscisse d'un point d'intersection de Dm et de P, et y son ordonnée, alors
x²-4x+6 = mx+1⇔ x²-4x+6-mx-1 = 0 ⇔ x²-(4+m)x+5=0 (E)
Soit Δ le discriminant de cette équation du 2d degré en x; on a:
Δ = (4+m)² - 4(1)(5) = m²+8m+m²-20 = 2m²+8m-20=2(m²+4m-10)
Il suffit d'étudier le signe de Δ pour déterminer le nombre des points d'intersection de P et de Dm.
Δ = 2(m²+4m-10) a même signe que celui de m²+4m-10, puisque 2>0
On étudie donc le signe de m²+4m-10.
Soit d = 4²-4(1)(-10) = 16+40 = 56 ⇒√d = 2√14
m0 = (-4-2√14)/2 = -2-√14 et m1 = -2+√14
Ainsi, on a:
m<-2-√14 OU m>-2+√14 ⇒ d>0 ⇒Δ>0 ⇒ (E) admet deux solutions distincts ⇒
P et Dm admettent deux points d'intersection distincts.
m = m0 = -2-√14 OU m = m1 = -2+√14 ⇒ d = 0 ⇒ Δ=0 ⇒(E) admet une solution unique ⇒ P et Dm admettent deux points de tangence.
-2-√14<m<-2+√14 ⇒ d<0 ⇒ Δ<0 ⇒ (E) n'admet aucune solution ⇒ P et Dm ne se coupent pas ou encore n'admette aucun point d'intersection.
