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Sagot :
A) z=x+iy
z-i=x+i(y-1)
z+i=x+i(y+1)
Le conjugué de z-i est x-i(y-1). On multiplie au numérateur et au dénominateur par le conjugué de z-i :
Z1=[(x+i(y+1))(x-i(y-1))]/(x²+(y-1)²)
Z1=(x²-ix(y-1)+ix(y+1)-i²(y²-1))/(x²+y²-2y+1)
Z1=(x²+y²-1+2ix)/(x²+y²-2y+1)
Donc Partie réelle =(x²+y²-1)/(x²+y²-2y+1)
et Partie Imaginaire=2x/(x²+y²-2y+1)
B) Si z est imaginaire pur alors x=0 donc la partie imaginaire de Z1=0 donc Z1 est un réel.
C) Pour que Z1 soit imaginaire pur il faut que x²+y²-1=0 soit x²+y²=1
Donc il faut que z soit situé sur le cercle complexe de centre (0;0) et de rayon 1. C'est à dire tous les complexes de module 1
z-i=x+i(y-1)
z+i=x+i(y+1)
Le conjugué de z-i est x-i(y-1). On multiplie au numérateur et au dénominateur par le conjugué de z-i :
Z1=[(x+i(y+1))(x-i(y-1))]/(x²+(y-1)²)
Z1=(x²-ix(y-1)+ix(y+1)-i²(y²-1))/(x²+y²-2y+1)
Z1=(x²+y²-1+2ix)/(x²+y²-2y+1)
Donc Partie réelle =(x²+y²-1)/(x²+y²-2y+1)
et Partie Imaginaire=2x/(x²+y²-2y+1)
B) Si z est imaginaire pur alors x=0 donc la partie imaginaire de Z1=0 donc Z1 est un réel.
C) Pour que Z1 soit imaginaire pur il faut que x²+y²-1=0 soit x²+y²=1
Donc il faut que z soit situé sur le cercle complexe de centre (0;0) et de rayon 1. C'est à dire tous les complexes de module 1
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