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Bonjour ! Je suis en 1ère S et j'ai un DM que je n'arrive pas à faire
malgré des heures passées dessus :
On cherche une fonction polynôme de second degré à partir de 3 tangentes :T1: y=x-3.T2: y=5x-5.T3: y=-7x-11.
Pour T1 j'ai commencé par écrire l'équation de la tangente soit :
y=f'(0)(x-0)+f(0).J'ai obtenu f'(0)=1 et f(0)=-3. On sait donc que le coefficient directeur
est 1.Donc, la courbe représentative de la fonction passe par un point A de
coordonnées (0;-3).
Si je fais la même chose pour les 2 autres tangentes, comment trouver la
fonction polynôme initiale ?

Sagot :

Laurance
si l'énoncé est tel que tu le donnes tu as les  3 tangentes  mais pas  les  points 
donc  tu  ne peut pas  écrire  l'équation de la tangente  avec  0  comme si tu savais  que le point  commun de la courbe et de la tangente avait  pour abscisse 0

f(x) =ax² + bx + c       3  inconnues
T1  tangente au point d'abscisse   u  mais  on ne connaît pas  u !
T2                                                   v
T3                                                   w
par contre ce que l'on sait
la courbe et la tangente  ont un seul point commun
donc  ces trois équations  ont  un delta = 0
ax² +bx +c =  x -3    delta 1= 0
ax² +bx +c = 5x -5   delta 2= 0
ax²+bx +c =  7x -11  delta 3 =  0

delta 1 =   (b -1)² -4a(c+3)= 0
delta2  = (b-5)² -4a(c+5)= 0
delta3  = (b-7)² -4a(c+11)= 0
on en déduit que    (b-1)² = 4ac + 12a          4ac = (b-1)²  -12a
(b-5)² - 4ac - 20a =0   donc  (b-5)²  -(b-1)² +12a  - 20a  = 0
b²  -10b + 25  -b²  + 2b - 1  - 8a =  0                  -8b + 24  -8a =  0 
8b=  24 - 8a                     b = 3  -a

et
(b-7)² -4ac  -44a  = 0  donc   (b-7)² -(b-1)² + 12a  - 44a = 0
b² -14b +49  -b² +2b - 1 +12a - 44a  = 0
-12b  - 32a  +48 =0                    12b= -32a + 48            b= 3-a
12(3-a) = -32 a   + 48
36-12a = -32a  + 48
20a = 12             a = 12/20 = 0,6     b = 3-0,6  = 2,4 
4ac = 2,4c = (2,4-1)²  - 12*0,6  =  -5,24     c = -5,24/ 2,4 = -131/60
f(x)=  0,6x²  + 2,4x  -  131/60

à vérifier sur la calculatrice en traçant la parabole et les  3 droites
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