voici une démonstration
la fonction exponentielle ( exp) est définie par exp'(x) = exp(x) et exp(0)=0
supposons qu'elle ne soit pas unique et qu'il existe une autre fonction f telle que
f '(x) = f(x) et f(0)= 1
on prouve que ce n'est pas possible
notons g(x) = f(x) / exp(x) g(0)=f(0)/exp(0) = 1/1 = 1
g '(x)= [ f '(x) *exp(x) - exp'(x) * f(x) ] / [ exp(x) ]² = 0 car f'(x ) =f(x) et exp'(x) =exp(x)
g'(x) = 0 donc g(x) est une constante g(x) = k mais comme g(0)= 1
on a forcément k = 1 ce qui entraîne f(x) / exp(x) = 1
donc f(x) = exp(x) f n'est pas différente de exp
