Bonjour,
Nous allons utiliser la congruence modulo 3
Démontrons d'abord que p est de la forme 3k+1 ou 3k-1 avec k∈N*
On sait que tout entier est congru à 0, 1 ou 2 modulo 3.
1er cas
p≡0 (modulo 3) impossible puis que p est premier
2ème cas
p≡1 (modulo 3); donc p est de la forme 3k+1 avec k∈N*
3ème cas
p≡2 (modulo 3)
Or 2≡-1 (modulo 3), donc p≡-1 (modulo 3) et p est de la forme 3k-1 avec k∈N*
Conclusion
p premier strictement supérieur à 3 est de la forme 3k+1 ou 3k-1 avec k∈N*
Si p est de la forme 3k+1, avec k∈N*, alors:
8p²+1 = 8(3k+1)²+1 = 8(9k²+6k+1)+1 = 72k²+48k+8+1 = 72k²+48k+9 =
3(24k²+16k+3)⇒
8p²+1 est multiple de 3 ⇒ 8p²+1 n'est pas premier
Si p est de la forme 3k-1, avec k∈N*, alors
8p²+1 = 8(3k-1)²+1 = 8(9k²-6k+1)+1 = 72k²-48k+8+1 = 72k²-48k+9 = 3(24k²-16k+3)⇒
8p²+1 est multiple de 3 ⇒ p n'est pas premier
Conclusion
p premier supérieur à 3 ⇒ 8p²+1 n'est pas premier
