Bonjour,
1
a
(BDCH) a ses diagonales [DH] et [BC] se coupant en leur milieu A'; donc (BDCH) est parallélogramme.
b
(BH) // (DC) et (DC) est perpendiculaire à (CA) car (DCA) est un angle au sommet C inscrit dans le cercle C et intercepte une demi-circonférence, donc est droit.
Donc (BH) est perpendiculaire à (CA).
(CH) // (BD) et (BD) est perpendiculaire à (AB) car (DBA) est un angle au sommet B
inscrit dans le cercle C et intercepte une demi-circonférence, donc est droit.
Donc (CH) est perpendiculaire à (AB).
c
H intersection de deux hauteurs dans le triangle (ABC) est l’orthocentre de ce triangle.
2
a
G appartient à la médiane [AA'] dans le triangle (ADH)
(OA') est médiatrice de [BC] dans le triangle isocèle (OBC); donc (OA') est perpendiculaire à (BC).
(AH) est perpendiculaire à (BC); donc (AH) // (OA').
Dans le triangle (AHD), O milieu de [AD] et A' milieu de [DH] donne OA' = AH/2 ou
OA'/AH = 1/2
De plus, le théorème de Thalès permet d'écrire:
GA'/GA = OA'/HA = 1/2
Or, GA'/GA = 1/2 ⇒ GA'/(GA+GA') = 1/(1+2) ⇔ GA'/AA' = 1/3 ⇒ G est centre de
gravité du triangle (ADH).
b
GA'/AA' = 1/3 ⇒ (AA'-AG)/AA' = 1/3 ⇒ AA'/AA' - AG/AA' = 1/3 ⇒
1 - GA/AA' = 1/3 ⇒ GA/AA' = 1-1/3 ⇒ GA/AA' = 2/3
[AA'] est une médiane dans le triangle (ABC) et G appartenant à [AA'] et tel que
GA/AA' = 2/3, G est aussi centre de gravité du triangle (ABC).
