Ex74
1) On calcule les coordonnées des milieux de AC et BD
Milieu de AC
En abscisse = (-3+4)/2=1/2
En ordonnée = (4+0)/2=2
Donc le milieu de AC est en (1/2;2)
Milieu de BD :
En abscisse = (0+1)/2=1/2
En ordonnée = (6-2)/2=2
Donc le milieu de BD est en (1/2;2)
AC et BD ont même milieu. Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu donc ABCD est un parallélogramme.
2) On calcule AB², AC² et BC² et on utilise la réciproque de Pythagore :
AB²=(0-(-3))²+(6-4)²=3²+2²=9+4=13
AC²=(4-(-3))²+(0-4)²=7²+4²=49+16=65
BC²=(4-0)²+(0-6)²=4²+6²=16+36=52
Donc AC²=AB²+BC² donc d'après la réciproque de Pythagore ABC est rectangle en B
3) Un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle.
Ex75
1) AB²=(3-(-2))²+(6-1)²=5²+5²=50
Donc AB=√50=5√2
BC²=(4-3)²+(-1-6)²=1²+7²=1+49=50
Donc BC=√50=5√2
AB=BC donc ABC est isocèle en B
2) Les coordonnées de K sont :
En abscisse = (-2+4)/2=1
En ordonnée = (-1+1)/2=0
Donc K(1;0)
3) D est le symétrique de B par rapport à K donc K est le milieu de BD
Notons D(xD;yD)
1=(3+xD)/2 donc xD=2-3=-1
0=(6+yD)/2 donc yD=-6
Donc D(-1;-6)
4) K est le milieu de AC et de BD sont ABCD est un parallélogramme.
Or AB=BC et on sait qu'un parallélogramme dont 2 côtés consécutifs sont de même longueur est un losange donc ABCD est un losange.
